08 Дифракционная решётка. Распределение интенсивности при дифракции на решётке, условия максимумов и минимумов. Главные и дополнительные максимумы.

Дифракционная решётка, оптический прибор, представляющий собой совокупность большого числа параллельных, равноотстоящих друг от друга штрихов одинаковой формы, нанесённых на плоскую или вогнутую оптическую поверхность. Таким образом, Д. р. представляет собой периодическую структуру: штрихи с определённым и постоянным для данной решётки профилем повторяются через строго одинаковый промежуток d, называется периодом Д. р Распределение интенсивности при дифракции монохроматического света на решетках с различным числом щелей. I₀ – интенсивность колебаний при дифракции света на одной щели при дифракции света на решетке главные максимумы чрезвычайно узки. Рис. дает представление о том, как меняется острота главных максимумов при увеличении числа щелей решетки. В каждой точке P на экране в фокальной плоскости линзы соберутся лучи, которые до линзы были параллельны между собой и распространялись под определенным углом θ к направлению падающей волны. Колебание в точке P является результатом интерференции вторичных волн, приходящих в эту точку от разных щелей. Для того, чтобы в точке P наблюдался интерференционный максимум, разность хода Δ между волнами, испущенными соседними щелями, должна быть равна целому числу длин волн:

Δ = d sin θ_m = mλ (m = 0, ±1, ±2, ..)

Здесь d – период решетки, m – целое число, которое называется порядком дифракционного максимума. В тех точках экрана, для которых это условие выполнено, располагаются так называемые главные максимумы дифракционной картины.

В фокальной плоскости линзы расстояние y_m от максимума нулевого порядка (m = 0) до максимума m-го порядка при малых углах дифракции равно

где F – фокусное расстояние.

Следует обратить внимание на то, что в каждой точке фокальной плоскости линзы происходит интерференция N волн, приходящих в эту точку от N щелей решетки. Это так называемая многоволновая (или «многолучевая») интерференция. Распределение световой энергии в плоскости наблюдения резко отличается от того, которое получается в обычных «двухлучевых» интерференционных схемах. В главные максимумы все волны приходят в фазе, потому амплитуда колебаний возрастает в N раз, а интенсивность в N² раз по сравнению с колебанием, которое возбуждает волна только от одной щели.

При смещении из главных максимумов интенсивность колебаний быстро спадает. Чтобы N волн погасили друг друга, разность фаз должна измениться на 2π / N, а не на π, как при интерференции двух волн. На рис. 3.10.4 изображена векторная диаграмма колебаний, возбуждаемых волнами от всех N щелей при условии, что сдвиг фаз волн от соседних щелей равен 2π / N, а соответствующая разность хода равна λ / N. Вектора, изображающие N колебаний, образуют в этом случае замкнутый многоугольник. Таким образом, при переходе из главного максимума в соседний минимум разность хода Δ = d sin θ должна измениться на λ / N. Из этого условия можно оценить угловую полуширину δθ главных максимумов:

Здесь для простоты полагается, что дифракционные углы достаточно малы. Следовательно,

где Nd – полный размер решетки. Это соотношение находится в полном согласии с теорией дифракции в параллельных лучах, согласно которой дифракционная расходимость параллельного пучка лучей равна отношению длины волны λ к поперечному размеру препятствия.

Можно сделать важный вывод: при дифракции света на решетке главные максимумы чрезвычайно узки. Рис. 1 дает представление о том, как меняется острота главных максимумов при увеличении числа щелей решетки

06 Принципы Гюйгенса-Френеля. Законы Френеля. Дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске. Метод зон Френеля.

Принцип Гюйгенса — Френеля — основной постулат волновой теории, описывающий и объясняющий механизм распространения волн, в частности, световых. Каждый элемент волнового фронта можно рассматривать, как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих волн.

Дифракция Фраунгофера - это дифракция на отверстии, которое для точки наблюдения открывает заметно меньше одной зоны Френеля. Это условие выполнено, если точка наблюдения и источник света находятся достаточно далеко от отверстия. Дифракция Френеля - это дифракция в случае, когда отверстие открывает (или препятствие закрывает) для точки наблюдения несколько зон Френеля. Если открыто много зон Френеля, то дифракцией можно пренебречь, и мы оказываемся в приближении геометрической оптики. Метод зон Френеля. Для нахождения результата интерференции вторичных волн Френель предложил метод разбиения волнового фронта на зоны, называемые зонами  Френеля. Предположим, что источник света S (рис. 17.18) точечный и монохроматический, а среда, в которой распространяется свет, изотропная. Волновой фронт в произвольный момент времени будет иметь форму сферы радиусом Каждая точка на этой сферической поверхности является вторичным источником волн. Колебания во всех точках волновой поверхности происходят с одинаковой часто-той и в одинаковой фазе. Следовательно, все эти вторичные источники когерентны. Для нахождения амплитуды колебаний в точке М необходимо произвести сложение когерентных колебаний от всех вторичных источников на волновой поверхности.

Рис. 17.18

Френель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до точки М отличались на т.е. Так как разность хода от двух соседних зон равна то колебания от них приходят в точку М в противоположных фазах и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М будет равна (17.5) где — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, .., m-й зонами. Френель предположил также, что действие отдельных зон в точке М зависит от направления распростронения (от угла (рис. 17.19) между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку М). С увеличением действие зон убывает и при углах амплитуда возбуждаемых вторичных волн равна 0. Кроме того, интенсивность излучения в направлении точки М уменьшается с ростом и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М Учитывая оба фактора, можно записать, что

Рис. 17.19

Дифракция на круглом отверстии. Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием (рис. 17.20). Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Согласно (17.5) и (17.6) в точке B  амплитуда результирующего колебания

где знак "плюс" соответствует нечетным m, а знак "минус"

— четным m. Рис. 17.20

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда колебаний в точке В будет больше, чем при отсутствии экрана. Если в отверстии укладывается одна зона Френеля, то в точке В амплитуда т.е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана. Если в отверстии укладываются две зоны Френеля, то их действие в точке В практически уничтожает друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если m — четное, то в центре темное кольцо, если m — нечетное — светлое кольцо), причем интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

3. Дифракция на диске. Пусть диск (рис. 17.21) закрывает m первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна так как выражения, стоящие в скобках, равны О. Рис. 17.21

Следовательно, в точке В всегда наблюдается светлое пятно, соответствующее половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность убывает с расстоянием от центра картины.