Вариант 5

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют левую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(3; -4; 6), B(1;-2; 6), C(-3; 5; -1). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(-4; 18), В(11; 3), С(-10; 0). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( -1; -1; -8) относительно плоскости .

9) Даны вершины треугольника А(0; -1; -4), В(-12; -49; -28), С(-6; -39; -9) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(-3; 1; 4), параллельно двум прямым .

11) Даны вершины тетраэдра A( 1; 4; 8), B( 0 ; 7; 9), C( -4 ; 2 ; 0), D( 8; 3; 1). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет эллипс, и найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис. Изобразить эту линию на чертеже.

Вариант 6

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют левую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(2; 3; -1), B(-3; 4; 1), C(-2; 2; -4). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(-10; 14), В(17; -5), С(-14; 2). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( -9; -1; -25) относительно плоскости .

9) Даны вершины треугольника А(-2; 3; 4), В(-14; -21; -20), С(-8; -19; -7) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(4; 3; -6) параллельно плоскости .

11) Даны вершины тетраэдра A( -3; 6; 3), B( 1; -1; 3), C( 1 ; 1; 6), D( 8; 8; 6). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет эллипс, и найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис. Изобразить эту линию на чертеже.