Вариант 9

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют правую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(0; 2; 1), B(4; 0; 1), C(3; -4; 2). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(8; 6), В(15; -7), С(4; 2). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( -2; -6; -7) относительно плоскости

9) Даны вершины треугольника А(-9; 1; 8), В(-15; -41; -16), С(-11; -33; 2) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; 6; 3) перпендикулярно вектору .

11) Даны вершины тетраэдра A( 0; 8; -4), B( 2; 2; -6), C( -9; 5; 3), D( 1; 9; 6). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет эллипс, и найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис. Изобразить эту линию на чертеже.

Вариант 10

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют правую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(-3; 1; 3), B(1; 7; 2), C(7; 3; 3). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(10; 1), В(-3; -6), С(6; 5). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( -5; 3; -16 ) относительно плоскости .

9) Даны вершины треугольника А(6; 3; 8), В(12; 45; 32), С(12; 25 34) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(-4: 1; 0) параллельно векторам .

11) Даны вершины тетраэдра A( 2; -4; 8), B( 0; 5; -2), C( -4; 0 ; 3), D( 2; 0; 6). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет эллипс, и найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис. Изобразить эту линию на чертеже.