3.26. Комплексные числа

3.26.1. Комплексные числа в алгебраической форме

а) Определения.

• Комплексным числом называется выражение вида , в котором a и b – вещественные числа (действительные), а i - так называемая мнимая единица – число, квадрат которого считается равным минус единице: .

- вещественная часть, - мнимая часть комплексного

числа

Также пишут .

• Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда и пишут :

= .

• Комплексные числа вида условились считать равным вещественному числу a. Комплексное число вида часто называют чисто мнимым числом.

• Комплексные числа и называются сопряженными.

б). Действия над комплексными числами в алгебраической форме

1. Степени числа .

2. Сложение, вычитание, умножение и возведение в целую положительную степень комплексных чисел можно выполнять по правилам этих действий над обычными алгебраическими выражениями, но с заменой степеней числа .

3. Деление комплексных чисел:

3.26.2. Тригонометрическая форма комплексного числа

1. Комплексное число определяется парой вещественных чисел и . Это позволяет изображать комплексные числа как точки плоскости в декартовой (прямоугольной) системе координат или радиусом-вектором этой точки .

2. Модулем комплексного числа называется длина вектора , угол называется аргументом комплексного числа.

3. Из прямоугольного треугольника OAM имеем:

,

тогда ) -

тригонометрическая форма комплексного числа.

4. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

• Умножение. Пусть даны два комплексных числа:

тогда .

• Деление: .

• Возведение в степень: .

• Извлечение корня:

=

где

,

Формулы возведения в степень и извлечения корня называются формулами Муавра.

3.26.3. Показательная форма комплексного числа

.

ДЛЯ ЗАМЕТОК.

3.27. Элементарные приёмы построения

ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

3.27.1. Преобразования графиков

Исходя из графика функции , можно построить графики

функций:

1. - первоначальный график отображается симметрично оси Ох (“зеркальное отображение” ).

2. - первоначальный график сдвигается вдоль оси Ох на величину а вправо, если и влево, если .

3. - исходный график перемещается вдоль оси Оу на величину : вверх, если , и вниз, если .

4. - исходный график растягивается вдоль оси Оу в А раз (если А>1) и сжимается в раз, если .

5. - тот же график, но растянутый вдоль оси Ох от начала координат в раз.

Таким образом, используя график функции , можно построить график функции

6. .

Примеры.

1). , 2).

Примеры. (1): ; (2): - сдвиг на 1 ед. вправо (3) : - сдвиг на 2 ед. влево

3). 4).

Примеры. (1)  :  ; (2) : - сдвиг на 2 ед. вверх ; (3) : - сдвиг на 1 ед. вниз.

Примеры. (1) :  ; (2) :  - растяжение в 3 раза вдоль оси Оу;  (3): - сжатие в 2 раза.

5).

Примеры. (1): ; (2): - сжатие в два раза к началу координат вдоль оси Ох; (3): - растяжение в два раза от начала координат вдоль оси Ох.

6).

Пример. +1 Приведём к виду: . Строим цепочку графиков в следующей последовательности: ; - сжатие в 2 раза ; -сдвиг на 2 ед. вправо вдоль оси Ох; -растяжение в 3 раза вдоль оси Оу;  -зеркальное отображение относительно оси Ох 6. - график построен.