- •Приближенные формулы
- •Теорема Лагранжа о конечном приращении функции
- •Правило Лопиталя
- •Применения производной к исследованию
- •11.16.3. Достаточные условия экстремума.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Свойства дифференциала
- •11.18.3. Таблица основных дифференциалов
- •11.18.4. Дифференциалы высших порядков
- •Полярные координаты
- •Производные высших порядков
- •Параметрическое задание функции
- •Кривизна. Радиус кривизны. Центр кривизны
Параметрическое задание функции
Уравнения называются параметрическими уравнениями кривой , если для всевозможных значений t ( из некоторой области, в которой определены обе функции) получаются всевозможные точки этой кривой (т.е. для любого значения t из данной области чúсла f(x) и φ(x) являются абсциссой и ординатой оответствующей точки кривой.
Пример 1. Уравнения , где , определяют окружность. Это нетрудно проверить, если каждое из уравнений возвести в квадрат и сложить; получим - уравнение окружности.
Пример 2. Уравнения , где , определяют эллипс. На самом деле, из данных уравнений нетрудно получить систему: Возведя оба уравнения в квадрат и сложив, получим: или - каноническое уравнение эллипса.
Если функция задана параметрически уравнениями в некотором промежутке изменения t , то производная функции y по переменной x ( пишут ) вычисляется по формуле = .
Вторая производная вычисляется по формуле:
.
Кривизна. Радиус кривизны. Центр кривизны
Кривизна в декартовых координатах :
.
Кривизна в полярных координатах : .
Кривая задана в параметрической форме: : .
Радиус кривизны в декартовых и в полярных координатах: .
Координаты центра кривизны:
,
, .
ДЛЯ ЗАМЕТОК