5.1. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора
Означення.
Нехай функція
визначена на множині
.
Говорять, що
рівномірно неперервна на
,
якщо
:
,
то виконується нерівність
.
Теорема
Кантора. Якщо
функція
неперервна на відрізку
,
то вона і рівномірно неперервна на цьому
відрізку.
Доведення.
Припустимо
противне, тобто
,
але
.
Розглянемо
послідовність додатних чисел
,
.
За припущенням з виконання нерівності
випливає, що
.
Розглянемо
обмежену послідовність
.
За лемою Больцано – Веєрштраса з неї
можна виділити збіжну підпослідовність
.
Нехай
.
Розглянемо
.
Оскільки
,
то при
.
Отже,
.
З неперервності функції
маємо,
тобто
,
.
З іншого боку
за припущенням. Одержали суперечність.
Значить, наше припущення неправильне.
Отже, функція рівномірно неперервна на
.
Зрозуміло, що будь-яка рівномірно неперервна функція на множині є неперервною в кожній точці множини . Теорема Кантора стверджує, що обернене є правильним для , якщо є відрізком.
6. Диференціальне обчислення функції однієї змінної
6.1. Означення похідної
Означення.
Нехай функція
визначена в околі точки
і
–довільна
точка цього околу. Якщо існує границя
,
то вона називається похідною функції
в точці
(при
)
і позначається
,
тобто
.
Позначимо
приріст аргументу
і приріст функції
в точці
через
.
Одержимо
.
Тобто,
похідна функції
в точці
дорівнює границі відношення приросту
функції в точці
до приросту аргументу в цій точці при
прямуванні приросту аргументу до нуля.