- •Передмова
- •Логічна символіка
- •1. Елементи теорії множин
- •1.1. Операції над множинами
- •1.2. Поняття відображення або функції
- •1.3. Еквівалентні множини. Потужність множини
- •1.3.1. Властивості еквівалентних множин
- •1.4. Зліченні множини
- •1.5. Метод математичної індукції
- •1.5.1. Аксіоми натуральних чисел
- •1.5.2. Метод математичної індукції
- •1.6. Біноміальні коефіцієнти. Біном Ньютона
- •2. Аксіоматика дійсних чисел
- •1. Операція додавання.
- •2. Операція множення.
- •3. Зв’язок операцій додавання і множення.
- •4. Аксіома упорядкованості.
- •5. Аксіома неперервності.
- •2.1. Наслідки із аксіом
- •2.1.1. Властивості операцій додавання і множення
- •2.5. Обмежені і необмежені множини. Верхня і нижня межі
- •2.6. Точна верхня і точна нижня межі множини
- •2.7. Принцип Архімеда
- •2.8. Принцип вкладених відрізків
- •2.9. Незліченність відрізка
- •2.10. Теорема про скінченне покриття
- •2.11. Теорема про граничну точку
- •3. Границя числової послідовності
- •3.1. Теореми про границі
- •3.2. Арифметичні операції зі збіжними послідовностями
- •3.3. Монотонні послідовності. Теорема Веєрштраса
- •3.4. Число
- •3.5. Підпослідовності
- •3.6. Фундаментальні послідовності. Критерій Коші
- •3.7. Найбільша і найменша часткова границя
- •4. Границя і неперервність функції
- •4.1. Основні елементарні функції
- •4.2. Границя функції
- •4.2.1. Лівостороння й правостороння границі
- •4.3. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •4.4. Властивості функцій, що мають границю
- •4.5. Критерій Коші існування границі функції
- •4.6. Неперервність функції
- •4.6.1. Неперервність суперпозиції функцій
- •4.6.2. Одностороння неперервність
- •4.6.3. Класифікація точок розриву функції
- •4.7. Границі і неперервність монотонних функцій
- •4.8. Неперервність елементарних функцій
- •4.9. Важливі границі
- •4.10. Порівняння функцій. Еквівалентні функції
- •5. Неперервні функції на відрізках
- •5.1. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора
- •6. Диференціальне обчислення функції однієї змінної
- •6.1. Означення похідної
1.6. Біноміальні коефіцієнти. Біном Ньютона
Розглянемо два натуральних числа і . Біноміальні коефіцієнти визначаються рівністю:
.
Мають місце наступні рівності:
1.
2.
3.
4. ;
5. ;
6. .
Формула бінома Ньютона
.
2. Аксіоматика дійсних чисел
Множина називається множиною дійсних чисел, а її елементи – дійсними числами, якщо вона задовольняє комплексу умов (аксіом) 1-5:
1. Операція додавання.
Для будь-якої упорядкованої пари визначено, причому єдиним чином, елемент , який називається їхньою сумою так, що при цьому мають місце наступні властивості:
1.1. (комутативність).
1.2. (асоціативність).
1.3. В існує елемент, що позначається і називається нулем такий, що .
1.4. Для існує елемент з , що називається протилежним до і позначається , такий що .
2. Операція множення.
Для будь-якої упорядкованої пари елементів визначено, причому єдиним чином, елемент , що називається їхнім добутком так, що при цьому мають місце наступні властивості:
2.1. (комутативність).
2.2. (асоціативність).
2.3. В існує елемент, що позначається і називається одиницею, такий, що .
2.4. , існує елемент з , що називається оберненим до і позначається або , такий, що .
3. Зв’язок операцій додавання і множення.
3.1. (дистрибутивність множення відносно додавання).
Зауваження. В алгебрі множину, яка задовольняє аксіоми 1-3 називають полем.
4. Аксіома упорядкованості.
Для кожного визначено одне з трьох співвідношень:
, , ,
причому умови і – еквівалентні, а також, якщо і , то і .
Аксіома 4 дає можливість порівнювати два елемента із за величиною.
Елемент називається більшим за елемент, і пишуть , або, що є те ж саме, елемент називається меншим за елемент , і пишуть , якщо .
Для будь-якої упорядкованої пари сума називається різницею і і позначається через , тобто
.
Для будь-якої упорядкованої пари добуток називається часткою від ділення на і позначається через , або , або , тобто
.
5. Аксіома неперервності.
Якими б не були непорожні множини і , у яких і виконується нерівність , існує такий елемент , що для будь-яких і виконуються нерівністі .
Теорема. Множина , що задовольняє аксіомам 1-5, існує і єдина з точністю до ізоморфізму, що зберігає порядок. Тобто, якщо і – дві множини, які задовольняють аксіомам 1-5, то знайдеться бієкція , яка задовольняє умовам:
2.1. Наслідки із аксіом
2.1.1. Властивості операцій додавання і множення
10. Єдиність нуля (тільки одне число з має властивість нуля).
20. Єдиність одиниці.
30. Єдиність протилежного елемента.
40. Єдиність оберненого елемента.
50. .
Доведення.
1) Доведемо єдиність нуля.
Припустимо, що крім нуля 0 існує ще один нуль . Тоді в силу 1.3 маємо і . Згідно комутативності (1.1) ліві частини цих рівностей дорівнюють одна одній. Звідси випливає, що .
2) Доведемо єдиність одиниці.
Нехай крім одиниці 1 існує ще одна одиниця . Перемножимо: . З іншого боку: .
3) Доведемо єдиність протилежного елемента.
Припустимо, що крім число має ще одне протилежне число , тобто
і .
Очевидно,
. (*)
З іншого боку,
(**)
Із (*) і (**) випливає що .
5) Доведемо .
За означенням різниці . Тоді
.
2.1.2. Властивості упорядкованості
10. Якщо , то .
20. Якщо , то .
30. виконується одне з трьох співвідношень
, , .
40. Якщо , то .
50. Якщо , то .
60. Якщо , то .
70. Якщо , то .
80. .
2.2. Зображення дійсних чисел у вигляді точок прямої
Розглянемо пряму з вказаним напрямком. Виявляється, що існує бієкція із на цю пряму, при якій число зображається точкою, що лежить праворуч від точки, яка зображає число .
2.3. Абсолютна величина (модуль) дійсного числа
За означенням , .
Властивості модуля
10. ;
20. , ;
30. ;
40. .
2.4. Розширена числова пряма
– розширена множина дійсних чисел (розширена числова пряма).
За означенням приймають:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Невизначеності: , , .
2.4.1. Околи на розширеній числовій прямій
1. Нехай , .
Означення. -околом точки називається множина точок числової прямої, що задовольняють нерівності .
-окіл точки позначається .
радіус околу. окіл точки деякого радіуса.
2. Означення. Околом невласної точки називається будь-яка множина виду:
, де будь-яке число.
3. Означення. Околом невласної точки називається будь-яка множина виду:
, де – будь-яке число.
4. Означення. Околом невласної точки називається будь-яка множина виду:
, де .