3.2. Переход от однородной деформации к бесконечно-малой. Тензор деформаций. Главные удлинения и сдвиги. Инварианты тензора деформаций. Условия совместности деформаций. Тензор скоростей деформаций.

3.2.1. Меры однородной деформации.

Самым простым и наглядным типом деформации является однородная деформация, то есть одинаковая по всему объекту. При такой деформации все точки одной плоскости будут принадлежать одной плоскости и после деформирования, а любые две параллельные материальные плоскости сохранят свою параллельность. К этому типу относится одноосное растяжение, рассмотренное нами ранее. Для перехода к сложным деформированным состояниям необходимо ввести деформацию, которую можно отнести к точке тела, а не только к какому-то конечному отрезку или углу. Для этого выразим однородную деформацию через перемещение точек тела.

Относительно неподвижной системы координат точки тела могут перемещаться как в результате деформирования, так и в результате движения тела как целого. Чтобы исключить движение тела, будем рассматривать перемещение точек в относительной системе координат, привязанной к телу, то есть точка, попадающая в начало координат, при деформировании остается неподвижной. В этой системе зададим перемещение точки из положения в положение при помощи вектора :

. (3.16)

Пусть у нас есть параллелепипед, одна вершина которого лежит в начале координат, а три прилегающих ребра лежат на осях координат. При условии однородности деформирования мы можем растянуть его в каждом из трех направлений , , и изменить каждый из трех углов между ребрами, первоначально параллельными координатным осям.

Деформации, задаваемые векторами перемещений следующего вида

(3.17)

называются чистыми растяжениями (рис. 3.2.1. а), а деформации, задаваемые векторами перемещений

(3.18)

называются простыми сдвигами (рис. 3.2.1. б). При этом при будут выполнять роль относительных удлинений, а при аналогично являются мерой сдвига. Они называются сдвигами или относительными сдвигами. При этом, поскольку сдвиг – это тангенс изменения угла между отрезками, первоначально параллельными осям и , очевидно должна существовать симметрия .

Пусть прямоугольник в плоскости подвергнут двум простым сдвигам (рис. 3.2.1. в). Деформация его будет одна и та же для всех пар углов и таких, что , то есть в одинакова в случаях рис. 3.2.1 в, г, д. Поэтому для любых двух сдвигов можно использовать вариант, при котором и равны, то есть заменить любую пару сдвигов с следующей эквивалентной парой:

(3.19)

Рис. 3.2.1. Чистое растяжение и простой сдвиг.

Аналогично можно поступить в трехмерном случае. Таким образом, любое однородное деформированное состояние без учета поворотов можно полностью задать тремя уравнениями следующего вида

. (3.20)

3.2.2. Тензор малых деформаций.

Теперь определим деформацию в точке, как деформацию содержащего ее бесконечно-малого объема . Поскольку объем бесконечно мал, деформацию в нем будем считать однородной. Меры конечной однородной деформации заменим на меры бесконечно-малой деформации, введя таким образом

деформации растяжения , : , , ,

сдвиги и сдвиговые деформации , : , , .

Малые перемещения будут определяться формулами, аналогичными (3.17):

. (3.21)

Поскольку перемещения зависят от координат, из (3.21) легко можно получить выражения для определения деформаций через перемещения. Они буду иметь простой вид

. (3.22)

Эти компоненты деформации составляют симметричный тензор , называемый тензором малых деформаций Коши. Помимо малых деформаций вводятся также малые повороты вокруг осей. Вернувшись к рис. 3.2.1. в, мы увидим, что если прямоугольник подвергнут сдвиговым деформациям, поворот его относительно оси будет равен половине разности между углами отклонения первоначально ортогональных отрезков от соответствующих координатных осей. Таким образом, малые повороты вокруг осей можно определить в виде

(3.23)

3.2.3. Главные деформации.

Как и тензор напряжений, как вообще любой симметричный тензор, тензор малых деформаций Коши приводится к главным осям

, (3.24)

где величины на диагонали, называемые главными удлинениями, определяются из характеристического уравнения

; . (3.25)

Здесь величины

(3.26)

или в главных деформациях

(3.27)

не зависят от выбора системы координат и потому называются инвариантами тензора деформаций.

Разности

, , (3.28)

называются главными сдвигами, наибольший из них обозначается как . Величина называется относительным изменением объема.

3.2.4. Девиатор деформаций.

Как и тензор напряжений, тензор деформаций бывает удобно представить в виде шарового тензора и девиатора:

, (3.29)

Для девиатора так же, как и для тензора деформаций определяются инварианты путем замены на :

(3.30)

Важную роль в теории пластичности играет величина, называемая интенсивностью деформации сдвига

, (3.31)

которую можно рассматривать как суммарную характеристику искажения формы элемента твердого тела.

3.2.5. Условия совместности деформаций.

Если рассматривать соотношения (3.22) как систему дифференциальных уравнений для определения перемещений через деформации, у нас будет система из шести уравнений от трех неизвестных, которая, очевидно, не при любом наборе левых частей будет разрешима. Чтобы эта система имела решение в перемещениях, на деформации должны быть наложены дополнительные условия, называемые условиями совместности деформаций или условиями сплошности. Их можно получить путем исключения перемещений из уравнений (3.22). Так, например

(3.32)

(3.33)

Таким образом, получим шесть условий совместности:

(3.34)

3.2.6. Тензор скоростей деформаций.

Дополнительно к тензору деформаций введем еще тензор скоростей деформаций. Пусть частицы среды движутся со скоростью . В течение бесконечно малого промежутка времени среда испытывает деформацию, определяемую вектором перемещений . Поделив компоненты такого тензора деформаций на , получим тензор скоростей деформаций, компоненты которого определяются выражениями

(3.35)

причем для часто используются обозначения .