3.3. Основные уравнения линейной теории упругости. Принцип возможных перемещений. Вариационный принцип минимума потенциальной энергии.

3.3.1. Уравнения равновесия и движения сплошной среды.

Рассмотрим теперь простейший вариант реакции твердого тела на нагружение – линейно упругое деформирование. Пусть деформирование происходит в декартовой системе координат , деформации малы, то есть описываются тензором Коши (3.22). В записях, приведенных в индексной форме по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3, индекс после запятой означает частную производную по соответствующей координате.

Прямая задача теории упругости состоит в том, чтобы по известным внешним воздействиям определить поле перемещений точек тела.

Запишем основные необходимые соотношения. Сделаем это в двух видах записи – покомпонентной и более компактной безиндексной, чтобы далее перейти на последнюю.

Прежде всего, нам понадобятся условия, которым должны удовлетворять внешние и внутренние силы в объеме тела. Это либо уравнения равновесия (см. (3.5))

; ,

либо уравнения движения, отличающиеся от (3.5) наличием второго типа массовых сил – сил инерции:

; , (3.36)

где точка над переменной означает дифференцирование по времени. Это система дифференциальных уравнений, для решения которых необходимо задать граничные условия, к которым в случае движения добавляются также начальные условия. Они имеют следующий вид:

; на , ; на , (3.37)

где и – непересекающиеся участки поверхности тела, причем ,

; . (3.38)

Из соотношений (3.36)–(3.38) мы можем найти напряженное состояние тела.

Уравнения равновесия используются в случае статического нагружения тела, то есть в случаях, когда имеется тело, к которому приложена неизменная нагрузка. Они же используются при квазистатическом нагружении, то есть при медленном изменении нагрузки. В реальном материале, как бы медленно ни изменялась нагрузка, приложенная к части поверхности тела, вызванное нагрузкой деформирование не захватывает все тело одновременно, а распространяется от нагруженного участка с некоторой конечной скоростью. Если скоростью этого распространения можно пренебречь и считать изменение деформированного состояния мгновенным, нагружения определяется как квазистатическое. Если распространением изменения деформированного состояния пренебречь нельзя, говорят о динамическом нагружении. К последнему типу относятся ударная, взрывная нагрузка и вибрационное нагружение.

Чтобы на основе напряженного состояния найти деформации, нам понадобятся определяющие соотношения, задающие связь между ними. То есть нам надо либо записать закон Гука

; , , (3.39)

где – матрица жесткости, либо задать упругий потенциал

. (3.40)

Если тело изотропно, то есть его свойства не зависят от направления, компоненты матрицы жесткости и упругий потенциал имеют вид

, , (3.41)

где при , при , а и – постоянные Ламе, причем последние можно выразить через модуль Юнга , коэффициент Пуассона и модуль сдвига материала:

. (3.42)

И наконец, зная деформации, мы можем найти перемещения из кинематических соотношений, представляющих собой запись компонент тензора деформаций Коши в перемещениях:

. (3.43)

3.3.2. Слабая форма уравнений движения (принцип возможных перемещений).

Уравнения движения (равновесия) с краевыми и начальными условиями позволяют определить непрерывное поле напряжений в нагруженном теле. Однако на практике аналитическому решению поддается крайне узкий круг задач, и потому задачи упругого и упругопластического деформирования в большинстве своем решаются приближенными численными методами. Наиболее распространен метод конечных элементов, основой которого является разбиение тела на множество подобъемов простой конфигурации (конечные элементы), в каждом из которых вместо искомой величины (например, напряжения) подбирается по некоторому алгоритму простая функция, аппроксимирующая искомую в узлах разбиения, что позволяет от решения интегральных уравнений или дифференциальных уравнений с краевыми и начальными условиями перейти к решению системы алгебраических уравнений с матрицами достаточно простого вида.

Для использования этого метода уравнения движения (равновесия) необходимо сформулировать в слабой форме, не требующей дифференцируемости напряжений и позволяющей находить разрывные решения уравнений движения.

Такой слабой формой записи является принцип возможных перемещений. Он гласит, что работа внутренних сил на возможных перемещениях равна работе внешних сил на возможных перемещениях. Под возможными подразумеваются перемещения, удовлетворяющие граничным условиям. Математическая формулировка принципа такова:

(3.44)

Здесь – вариация поля перемещений, то есть поле таких достаточно гладких функций, что на , а вариация тензора деформаций Коши определяется соотношениями

. (3.45)

Заметим, что

, (3.46)

причем по теореме Гаусса–Остроградского

. (3.47)

Подставив (3.46) с учетом (3.47) в (3.44), можно убедиться, что из выполнения (3.44) следует выполнение (3.36), (3.37).

Уравнения движения в слабой форме необходимы также для решения задач упругости с меняющимися граничными условиями, как, например, контактных задач (статические и кинематические граничные условия задаются на контактных поверхностях, определяемых деформированной конфигурацией тела) и задач с неконсервативной нагрузкой (например, гидростатической, зависящей от формы тела, изменяющейся в результате нагружения).

3.3.3. Вариационный принцип.

В случае квазистатики можно также воспользоваться вместо принципа возможных перемещений вариационным принципом минимума потенциальной энергии. Для этого введем функционал

. (3.48)

Система (3.5), (3.37) является системой уравнений Эйлера и естественных граничных условий вариационного уравнения

. (3.49)

Решение уравнений (3.5), (3.37) доставляет минимальное значение функционалу (3.48).

Заключение главы 3.

Основные понятия теории напряжений, деформаций и постановка начально-краевой задачи упругого деформирования даны в этой главе в краткой форме, достаточной для понимания дальнейшего материала. Более полное изложение содержится в курсе теории упругости. Пример аналитического решения задачи об упругом деформировании трубы, находящейся под действием внутреннего давления, рассматривается на семинарских занятиях по данному курсу.

Далее рассмотрим постановку и метод решения задачи пластического деформирования в наиболее простой форме – в случае использования упрощенной модели жестко-пластического тела, то есть такого тела, которое начинает деформироваться только тогда, когда напряжения удовлетворяют условию текучести.