3.6. Математическая обработка ряда результатов неравноточных измерений

При математической обработке неравноточных измерений одной и той же величины решаются последовательно следую­щие задачи:

1) определяют средневесовое значение из результатов измерений

, (3.14)

где – приближенное (как правило – наименьшее) значение измеряемой величины;

– сумма весов;

2) определяют СКП единицы веса по формуле:

; (3.15)

3) вычисляют СКП самой СКП единицы веса

, (3.16)

4) вычисляют СКП средневесового значения

. (3.17)

Для удобства вычислений применяется табличная форма.

В зависимости от условия задачи для различных видов измерений веса можно вычислять по следующим формулам:

; ; ; , (3.18)

где – произвольно выбранное число равное квадрату СКП единицы веса;

L – длина нивелирного хода в км;

п – число углов поворота в теодолитном ходе или чис­ло станций в нивелирном ходе.

Решение задач

Пример 11.

На заложенный грунтовый репер по четырем ходам геометрического нивелирова­ния различной длины передана высота :

№ ходов	, м	, км
1	134,172	8,1
2	211	4,2
3	188	5,3
4	195	6,0

Произвести математическую обработку ряда высот.

Решение.

В данной задаче неравноточность высот обусловлена различны­ми длинами нивелирных ходов. Так как, , то вес . Обозначив постоянную величину , получим , т.е. вес превышения по всему ходу геометрического нивелирования обратно пропорционален длине хода.

№ ходов	Высоты , м	Длина хода , км	Вес	Остатки , мм	, мм	V, мм	, мм
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	134,172	8,1	0,62	0	0	+22	+13,6	299	0
2	211	4,2	1,19	+ 39	+ 46,4	-17	-20,2	344	1810
3	188	5,3	0,94	+ 16	+ 15,1	+6	+ 5,7	34	242
4	195	6,0	0,83	+ 23	+ 19,2	- 1	- 0,8	1	442

=3,58 +80,7 = -1,8 678 2494

;

;

Контроль: [PV]=0.

За счет округления величины появляется ошибка округления .

В этом случае контролем является выражение

; [PV] = -0,511·3,58 = -1,8.

Контроль вычисления :

. .

СКП единицы веса будет равна (СКП превышения, полученного по ходу длиной 5км)

.

СКП самой СКП единицы веса

.

Следовательно,

.

СКП средневесового значения равна

.

Среднеквадратическая погрешность превышения, полученного по ходу длинной в 1км, будет

,

что соответствует IV классу геометрического нивелирования. Вес уравненного значения высоты репера равен сумме весов результатов измерений

.

Ответ:

Задача 23.

Горизонтальный угол измерен различным числом приемов. Произвести математическую обработку результатов измерений (см. приложение табл. 2).

№ п/п	Значение угла	Количество приемов
1	54°12'18''	5
2	22	3
3	20	……

Задача 24.

По четырем теодолитным ходам на узловую линию пере­дан дирекционный угол. Число горизонтальных углов поворота в каждом хо­де различно. Произвести математическую обработку результатов значений дирекционных углов узловой линии (см. приложение табл. 2).

№ п/п	Значение дирекционного угла	Число углов в ходах
1 2	271º33,5' 35,2	........ 8
3	30,0	12
4	32,8	.……

Задача 25.

По четырем ходам геометрического нивелирования с различным числом станций была передана высота на узловой репер, что дало результаты (см. приложение табл. 2):

№ п/п	Значение высоты репера, м	Число станций в ходах
1	82,631	....
2	650	20
3	618	34
4	648	.....

Произвести математическую обработку ряда значений высот.