Занятие 6
Случайная величина Х распределена по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей вида:
Найти константу с, вычислить , М(х) и D(х).
Ответ: с=0,5, = , М(х)=0, D(x)= .
2. В лотереи один выигрыш по 1000 р., два по 500 р. и 5 по 100 р. Определить общее количество билетов, если математическое ожидание суммы выигрыша равно 5 р.
Ответ: .
3. Охотник, имеющий три патрона, стреляет по зайцу, пока не попадет или не кончатся патроны. Составить закон распределения числа использованных патронов, если вероятность попадания при одном выстреле равна . Найти математическое ожидание и дисперсию.
Ответ: .
4. Пассажир может ждать лётной погоды трое суток, после чего едет поездом. По прогнозам метеорологов вероятность летной погоды в первые сутки равна 0,5; во вторые – 0,6; в третьи – 0,8. Пусть - число полных суток до отъезда пассажира. Составить ряд распределения случайной величины , найти математическое ожидание и дисперсию.
Ответ: .
5. Студент выучил 30 вопросов из 40. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Составить закон распределения числа правильных ответов на вопросы билета, найти его математическое ожидание и дисперсию.
Ответ: .
6. Игральная кость брошена три раза. Составить закон распределения числа выпадений 5 и найти все числовые характеристики.
Ответ: .
7. Найти , для плотности распределения заданной графически
Ответ: .
Самостоятельная работа
1. Функция распределения случайной величины задана интегральной функцией:
Вычислить , М(х), D(х), А, Е.
Ответ: =0,75, М(х)= , D(x)= , А= , Е= .
2. Случайная величина задана функцией распределения
Найти: и , математическое ожидание, дисперсию.
Ответ: .
3. Студент сдает экзамены с вероятностями 0,8; 0,7; 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сданных экзаменов.
Ответ: .
4. В партии из 5 изделий 2 имеют скрытый дефект. Реализовано 4 изделия. Составить закон распределения числа качественных изделий среди реализованных. Найти математическое ожидание и дисперсию для данного распределения.
Ответ: .
Занятие 7
1. Случайная величина Х распределена по закону Коши, определяемому функцией распределения вероятностей:
Выбрать коэффициенты а, b и c таким образом, чтобы данное распределение соответствовало случайной величине непрерывного типа.
Ответ: b= , c= .
2. Из урны содержащей 4 белых и 6 чёрных шаров, случайным образом и без возвращения извлекается 3 шара. Случайная величина Х - число белых шаров в выборке. Составить закон распределения и найти М(х), D(x), А, Е.
Ответ: М(х)= , D(x)= , А= , Е= .
3. Для нормального закона распределения известно математическое ожидание и . Найти вероятность .
Ответ: 0,7745.
4. В нормально распределенной совокупности 15% значений меньше 12 и 40% значений больше 16,2. Найти среднее значение и среднее квадратическое отклонение данного распределения.
Ответ:
5. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х - числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х)=0,9.
Ответ:
6. Для биноминального закона распределения известно, что и . Найти возможные значения коэффициента ассиметрии.
Ответ: .
Самостоятельная работа
1. Случайная величина Х распределена по закону равнобедренного треугольника в интервале (-а, а) (закон Симпсона), если она непрерывного типа и её плотность распределения вероятностей имеет вид, изображённый на рисунке:
y=f(x)
-а 0 а х
Написать выражение для f(x) и F(x). Вычислить D(x).
Ответ: D(x)= ,
2. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение Х контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется выборочным средним отклонением . Считая, что для данной технологии и Х нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат.
Ответ: .
3. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу меньшую 1 кг. Каков процент коробок, масса которых превышает 940 г?
Ответ:
4. Сколько раз нужно бросить игральную кость, для того, чтобы дисперсия выпадения 6 очков была равна 10.
Ответ: .