- •Т.А. Павлова дифференциальные уравнения
- •Печатается по решению редакционно- издательского совета ОрелГту Орел 2004
- •302030, Г. Орел, ул. Московская, 65.
- •Введение
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения первого порядка
- •3. Линейные уравнения первого порядка
- •3. 1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2). Будем считать произвольную постоянную снеизвестной функциейс(х), т.Е.
- •3. 2. Решение линейных уравнений первого порядка с помощью подстановки
- •4. Уравнение Бернулли
- •5. Уравнения в полных дифференциалах
- •6. Метод изоклин
- •6.1. Геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •7. 1. Первый тип. Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную
- •7. 2. Второй тип. Уравнения, не содержащие искомой функции
- •7. 3. Третий тип. Уравнения, не содержащие независимой переменной
- •8. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •8. 1. Метод неопределенных коэффициентов
- •8. 2. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •9. Литература
1. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения вида:
(1)
называются уравнениями с разделяющимися переменными. Решая такие уравнения, необходимо преобразовать их так, чтобы одна часть уравнения содержала только переменную у, а другая - толькох, а затем проинтегрировать обе части (поуи похсоответственно).
Например, уравнение (1) надо разделить на , тогда получим. Проинтегрировав обе части, найдем общий интеграл:
. (2)
Кроме найденного общего интеграла (2) уравнению (1) могут также удовлетворять решения, получаемые из уравнения . Если эти решения не входят в общий интеграл (2), то они будут особыми решениями уравнения (1).
Приведем примеры решения конкретного уравнения этого типа.
Задача №1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (ответ представить в виде (х, у)=с).
1.31 .
Решение. Уравнение представлено в дифференциальной форме. Для разделения переменных перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и сгруппируем содержащие dxиdy:
Разделим обе части уравнения на , получим.
Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:
.
В первообразных модули можно опустить, т.к. 1+х2и4+у2величины всегда неотрицательные.
Умножая обе части уравнения на 2 и учитывая свойства логарифма, получим
.
В нашем примере уравнение представлено в дифференциальной форме. Возможны случаи, когда уравнение разрешено относительно производной, т.е. оно имеет вид и, когда не разрешено относительно производной —.
Например, для первого случая . В таких задачах нужно учитывать, что. Тогда,.
Пример ко второму случаю: . Уравнение можно разрешить относительно производной и, таким образом, придем к первому случаю.
2. Однородные уравнения первого порядка
Уравнение первого порядка называется однородным, еслиf(x,y)можно представить как функцию только одного отношения переменных, т.е. уравнение вида. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными посредством замены функцииу(илих) новой функциейtпо формулеy=tx(x=ty), причем.
Дифференциальное уравнение типа:
приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку (х0,у0)пересечения прямых, т.е. замена переменныхХ=х-х0, У=у-у0.
Если эти прямые не пересекаются, то , и рассматриваемое уравнение сводится к виду, котороеприводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой, тогда
Задача №2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
2.31 .
Решение. Данное уравнение первого порядка уже разрешено относительно производной. Установим, что она является функцией только отношения переменных , т.е. установим, что данное уравнение является однородным. Для этого числитель и знаменатель дроби разделим наx2. (Другими словами, сократим дробь наx2.)
.
Далее вводим новую функцию . Отсюда,. После подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:и, интегрируя, найдем
Возвращаясь к старым переменным, получим
Ответ:
Задача №3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
3.31
Решение. Также как и в задаче №2 это тоже однородное дифференциальное уравнение. Докажем это, найдя точку пересечения прямых, стоящих в числителе и знаменателе и сделав соответствующую замену переменных.
Из последней системы легко видеть, что . Подставим найденныехиув исходное уравнение, получим
.
Далее решаем полученное однородное уравнение путем замены.
Возвращаясь к старым переменным, получим: , что и является ответом.