- •Т.А. Павлова дифференциальные уравнения
- •Печатается по решению редакционно- издательского совета ОрелГту Орел 2004
- •302030, Г. Орел, ул. Московская, 65.
- •Введение
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения первого порядка
- •3. Линейные уравнения первого порядка
- •3. 1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2). Будем считать произвольную постоянную снеизвестной функциейс(х), т.Е.
- •3. 2. Решение линейных уравнений первого порядка с помощью подстановки
- •4. Уравнение Бернулли
- •5. Уравнения в полных дифференциалах
- •6. Метод изоклин
- •6.1. Геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •7. 1. Первый тип. Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную
- •7. 2. Второй тип. Уравнения, не содержащие искомой функции
- •7. 3. Третий тип. Уравнения, не содержащие независимой переменной
- •8. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •8. 1. Метод неопределенных коэффициентов
- •8. 2. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •9. Литература
4. Уравнение Бернулли
Уравнение вида , (6)
где α - любое действительное число (α≠0,α ≠1) называется уравнением Бернулли. Преобразование уравнения в линейное будем проводить в следующей последовательности:
умножим обе части уравнения на ;
введем подстановку , отсюдаи;
решаем получившееся линейное уравнение;
возвращаемся к искомой функции, заменяя на.
Задача №6. Найти решение задачи Коши:
6.31 .
Решение. Поделив обе части уравнения на , увидим, что это уравнение Бернулли:
.
Введем новую переменную . Тогда,или. Наше уравнение примет вид- линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решая его любым способом, рассмотренным в задаче №5, получимили. Тогда- общее решение исходного дифференциального уравнения.
Определим произвольную постоянную c используя начальное условие:
.
Решением задачи Коши будет являться
.
Замечание. В начале нашего решения мы обе части уравнения делили на x≠0 и могли, таким образом, потерять решение уравнения. Подставляя x=0 в исходное уравнение, убеждаемся, что оно не является его решением.
5. Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение , в котором левая часть является полным дифференциалом функцииU(x,y), т.е.
(7)
(8)
называется уравнением в полных дифференциалах. Это имеет место в том и только в том случае, когда выполняется равенство:
.
Тогда .
Интегрируем уравнение (7) по x:
(9).
Уравнение (9) продифференцируем по y:
(10).
Сравнивая (10) и(8):
.
Отсюда
.
Подставляя найденную функцию в (9) найдемU(x,y).
Задача №7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
7.31 .
Решение. Сгруппируем слагаемые содержащие dx и dy
.
Докажем, что это уравнение в полных дифференциалах.
Пусть , а. Т.е., необходимо показать, что.
и .
Теперь наша задача заключается в том, чтобы найти функцию U(x,y)=c, такую чтобы ее полный дифференциал был таким же, как левая часть нашего дифференциального уравнения.
Пусть (1), а(2).
Проинтегрируем уравнение (1) по переменной x, а вместо произвольной постоянной прибавим функцию, зависящую от y, т.е. (это необходимо, т.к. функцияU зависит от двух переменных, а интегрируем мы только по одной).
(3).
Продифференцируем уравнение (3) по переменной y, получим
(4).
Сравнивая уравнения (2) и (4),получим
,
.
Подставим найденную функцию φ(y) в уравнение (3):
.
Т.к., решение уравнения мы искали в виде U(x,y)=c, то ,
что и будет являться ответом.
Замечание. Уравнения в полных дифференциалах можно решать и другим способом. Заключается он в следующем. Ищут интегралы от Р(x,y) и от Q(x,y) по dx и dy соответственно. Затем ко всем известным членам из первого результата дописывают недостающие члены из второго, получают функцию U(x,y).
6. Метод изоклин
Задача №8. Для данного дифференциального уравнения построить интегральную кривую, проходящую через точку М.
8.31 .
Для решения подобной задачи можно также применить метод изоклин. Изоклиной уравнения называется всякая кривая, определяемая уравнением f(x,y)=k при фиксированном k, где k=tgα=.
Решение. Для приближенного (графического) решения нашего уравнения построим на плоскости изоклины для нескольких значений k. (Существование и единственность заданного дифференциального уравнения следует из того, что f(x,y)=x+2y и непрерывны всюду на плоскостиXOY).
Т.к. поле направлений исходного уравнения:
Тогда уравнения изоклин будут
.
Исследуем вид правой части заданного уравнения:
1. Найдем линию экстремумов.
, отсюда .
Полученная прямая является линией экстремумов. (Непосредственной подстановкой убеждаемся, что она не является решением нашего уравнения).
когда . Значит, интегральные кривые убывают до пересечения с прямой.
когда . Следовательно, кривые возрастают после пересечения с прямой.
Значит, сама прямая является линией минимумов.
2. Найдем линию перегибов.
, т.е. или. Тогда. Отсюда.
Но, т.к. эта прямая является решением исходного уравнения, то она не может быть линией перегибов. А из того, что еслииеслиследует, что вогнутые интегральные кривые расположены выше этой прямой, а выпуклые – ниже.
Составим таблицу.
k |
-1/2 |
0 |
1 |
4 |
5 |
Изоклины
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
arctg4 |
arctg5 |
Рис. 1. Графическое решение дифференциального уравнения 8.31
На поле направлений совпадает с самой прямой. Точка М(1,2) принадлежит изоклине. (Читателю будет полезно сравнить приближенное решение с точным, решив дифференциальное уравнение самостоятельно.)