Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Станок-автомат штампует валики. По выборке объма вычислено выборочное среднее диаметров изготов­ленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность , с которой выборочное среднее оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.

Задача 2. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожида­ния а генеральной совокупности по выборочному среднему равна , если известно среднее квадратическое отклонение нормально распределенной генеральной совокупности.

Задача 3. Фирма коммунального хозяйства желает оценить на основе выборки среднюю квартплату за квартиры определенного типа с надежностью не менее 0,99 и погрешностью, меньшей 10 ден. ед. Предполагая, что квартплата имеет нормальное распре­деление со средним квадратическим отклонением, не превыша­ющим 35 ден. ед., найти минимальный объем выборки.

Задача 4. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 10:

Варианта	2	1	2	3	4	5
Частота	2	1	2	2	2	1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нор­мально распределенного признака генеральной совокупности по выборочному среднему при помощи доверительного интервала.

Задача 5. Для отрасли, включающей 1200 фирм, составлена случайная выборка из 19 фирм. По выборке оказалось, что в фирме в среднем работают  = 77,5 человека при среднем квадратич­ном отклонении s = 25 человек. Пользуясь 95%-ным доверитель­ным интервалом, оценить среднее число работающих в фирме по всей отрасли и общее число работающих в отрасли. Предполага­ется, что количество работников фирмы имеет нормальное рас­пределение.

Задача 6. По данным 16 независимых равноточных изме­рений некоторой величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и исправленное среднее квадратическое отклонение, равные соответственно 42,8 и 8. Построить доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины с надежностью = 0,999.

Задача 7. По данным выборки объема п из генеральной совокупности нормально распределенного количественного призна­ка найдено исправленное среднее квадратическое отклонением. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95, еслип = 30, s = 14.

Задача 8. По данным выборки объема п = 16 из генеральной совокупности найдено исправленное среднее квадратическое отклонение нормально распределенного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квад­ратическое отклонение с надежностью 0,95.

Задача 9. Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем исправленное среднее квадратическое отклонение s случайиных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,95. Предполагается, что результаты из­мерений распределены нормально.

Задача 10. По выборке из 25 упаковок товара средний вес составил 101г с исправленным средним квадратическим откло­нением 3г. Построить доверительные интервалы для среднего и дисперсии с вероятностью 90%.

Задача 11. Исправленное среднее квадратическое откло-нение ежесуточного дохода случайно выбранных 10 киосков некоторой фирмы оказалось равно 100 ден. ед. Построить доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с надежностью 90%. Предполагается, что доход это нормально распределенная величина.

Задача 12. Производитель автомобильных шин заинте-ресован и получении оценки средней износоустойчивости шин особой модели. Он произвел случайную выборку объемом 10 шин и подверг их специальному испытанию. Средняя износоустойчивость, но данным выборки, оказалась равной 22 500 миль с неисправленным средним квадратическим отклонением 3000 миль. Пост­роить доверительный интервал с вероятностью 99% для средней износоустойчивости всего выпуска шин этого типа. Генеральная совокупность распределена нормально.

Задача 13. Импортер упаковывает чай в пакеты номиналь-ным весом 125 г. Известно, что наполняющая машина работает со стандартным отклонением , равным 10 г. Выборка 50 паке­тов показала средний вес 125,8 г. Найти доверительный интервал для среднего веса в генеральной совокупности с вероятностью 95%. Генеральная совокупность распределена нормально. Найти объем выборки п, чтобы с вероятностью 95% точность интервала была равной 2 г.

Задача 14. За последние 9 лет годовой рост цены актива А со­ставлял в среднем 22% со средним квадратическим отклонением (исправленным) 6%. Построить доверительный интервал с веро­ятностью 90% для средней цены актива в конце следующего года, если в начале она была равна 200 ден.ед.

Задача 15. Бухгалтер компании решил предпринять выбо-роч­ную проверку и выбрал 18 из 1200 компонент, продававшихся в прошлом месяце. Стоимость отобранных компонент 82; 30; 98; 116; 80; 150; 200; 88; 70; 90; 160; 100; 86; 76; 90; 140; 76; 68 (д.ед.). Найти оценку средней стоимости всех компонент и построить для нее доверительный интервал с надежностью 0,95. Какой объем выборки необходим для точности интервальной оценки = 3 (ден.ед.)?

Задача 16. Среднее время сборки изделия составляло 90 ми­нут. Инженер изобрел новый метод сборки этого изделия и про­должительность сборки 10 изделий новым способом составила 79; 74; 112; 95; 83; 96; 77; 84; 70; 90 (мин.). Построить доверительный интервал для нового среднего времени сборки с надежнос­тью 95%.

Задача 17. Урожайность зерновых культур в России в 1992 –2001 гг. представлена в таблице.

Год	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
Урожайность, ц/га	18,0	17,1	15,3	13,1	14,9	17,8	12,9	14,4	15,6	19,4

Построить доверительные интервалы для среднего и для следующего наблюдения с надежностью 95%, используя нормаль­ное приближение.

Задача 18. В таблице приведены сгруппированные данные о коэффициентах соотношения заемных и собственных средств в 100 малых предприятиях региона.

Номер интервала	Интервал	Середина интервала х	п
1	5,05 – 5,15	5,1	5
2	5,15 – 5,25	5,2	8
3	5,25 – 5,35	5,3	12
4	5,35 – 5,45	5,4	20
5	5,45 – 5,55	5,5	26
6	5,55 – 5,65	5,6	15
7	5,65 – 5,75	5,7	10
8	5,75 – 5,85	5,8	4

Построить доверительные интервалы для среднего и для следующего наблюдения с надежностью 95 %, используя нормаль­ное приближение.

Задача 19. 72% выпускников средних школ города собираются посту­пать в университет. Чему равна вероятность того, что среди 500 случай­но выбранных выпускников процент желающих поступить в вуз окажется выше 80%.

Задача 20. Телефонная компания желает оценить среднее время меж­дугородных переговоров в течение выходных, когда действует льготный тариф. Случайная выборка из 41 звонка дала среднюю = 14,5 минут со средним квадратическим отклонением минут. Постройте 95% и 90%-ный доверительные интервалы для средней продолжительности переговоров в выходные дни.

Задача 21. Страховая компания оценивает среднюю сумму исков, предъявленных больными за врачебные ошибки. Компания осуществила случайную выборку 121 иска и нашла = 6,530 и = = 5,542. Постройте 95%-ный и 99%-ный доверительные интервалы для средней суммы исков.

Задача 22. Бюро по найму рабочих желает оценить средние ставки рабочих вакансий в определенной отрасли промышленности. Случайная выборка 61 вакансии дала = 4253,9 рублей и  = 116,90 рублей. Постройте 90%-ный доверительный интервал для средних ставок по вакансиям в данной отрасли промышленности.

Задача 23. Автотранспортная компания желает оценить среднее время транзита грузов из столицы в северные регионы страны. Случайная вы­борка 20 партий товаров дала = 2,6 дней, = 0,4 дня. Постройте 99%-ный доверительный интервал для среднего времени транзита това­ров в генеральной совокупности.

Задача 24. Менеджеру универсама необходима информация о средне­дневной потребности в кефире. Случайная выборка дала следующие результаты продаж (число проданных литровых тетрапаков в день): 48, 59, 45, 62, 50, 68, 57, 80, 65, 58, 79, 69. Предполагая, что это случайная выборка дневной потребности, постройте 90%-ный доверительный ин­тервал для среднего числа пакетов с кефиром, которое надо завозить ежедневно в универсам.

Задача 25. Авиакомпания, открывшая новый авиа-маршрут, желает оценить долю пассажиров, путешествующих по служебным делам в этом направлении. Случайная выборка 347 пассажиров, летающих по этому маршруту, определила, что 201 из них – бизнесмены. Постройте 99%-ный доверительный интервал доли пассажиров, путешествующих по делам службы.

Задача 26. Филиал Сбербанка имеет 1253 лицевых счета. Проведенная случайная выборка 200 из них дала среднее значение 648,32 условных денежной единицы. Выборочное среднее квадратическое отклонение равно 210 условным денежным единицам. Постройте 99%-ный доверительный интервал средней суммы денег на счетах данного филиала.

Задача 27. Опрос 300 случайно отобранных жителей города показал, что 55% из них довольны деятельностью вновь избранного мэра. По­стройте 95%-ный доверительный интервал доли жителей всего города, которые также доверяют мэру.

Задача 28. Социологическая организация проводит опрос рабочих предприятия с целью выяснения отношения к структурной реорганизации, проведенной руководством предприятия. На предприятии работает 1242 человека. Для интервью случайным образом было отобрано 160 человек, среди которых 85 отметили, что в общем удовлетворены проведенными преобразованиями. Постройте 95%-ный доверительный интервал доли рабочих, оценивающих положительно реорганизацию предприятия.

Задача 29. По результатам городского социологического опроса, для которого была составлена выборка по избирательным спискам, выяснено: скорее всего 48% избирателей собираются голосовать против нынешнего мэра города. Предположим, что объем выборки составлял 789 избирателей. Постройте 99%-ный доверительный интервал для доли возможных избирателей, которые скорее всего проголосуют против нынешнего мэра.

Задача 30. Ректорат университета хотел бы знать мнение студентов о новом учебном корпусе. Из 500 студентов, которым были заданы вопросы, 350 ответили, что им нравятся новые учебные помещения. Оцените долю студентов, которым понравится новое учебное здание. Постройте 90%-ный доверительный интервал.

Задача 31. Компания, занимающаяся пассажирскими автобусными пе­ревозками, предполагает открыть новый автобусный маршрут из пригорода в центральную часть города. Среди 50 пассажиров, выбранных в случайном порядке, 18 заявили, что будут регулярно пользоваться новым автобусным маршрутом. Постройте 90%-ный доверительный интервал для генеральной доли пас­сажиров, которые будут использовать новый автобусный маршрут.

Задача 32. Аудитор, проверяющий страховую медицинскую компанию, хотел бы определить долю рецептов, оплаченных страховой компанией в течение последних двух месяцев. В случайной выборке из 200 рецептов оказалось 80 рецептов, оплаченных в течение ближайших двух месяцев. Постройте 99%-ный доверительный интервал для оценки числа рецептов в генеральной совокупности, которые были оплачены в ближайшие 2 месяца.

Задача 33. Ректорат университета хотел бы выяснить долю студентов дневного отделения, которые имеют доступ к работе с персональным компьютером вне стен университета (например, дома). Случайная выборка 150 студентов выявила, что 135 из них имеют такой доступ. Постройте 90%-ный доверительный интервал для проверки доли студентов днев­ного отделения, имеющих доступ к персональному компьютеру вне учебного процесса в стенах университета.

Задача 34. Владелец хлебного магазина заметил, что у него ежедневно остается некоторое количество непроданных батонов, и он решил оце­нить реальную потребность в этом сорте хлеба. В течение месяца он записывал данные о числе проданных батонов и через 30 дней установил, что в среднем за день продается 120 батонов со средним квадратическим отклонением в 10 батонов. Предположим, что ежедневные про­дажи батонов подчиняются нормальному распределению. Постройте 90%-ный доверительный интервал для требуемого количества батонов.

Задача 35. Предположим, что владелец магазина (см. задачу 34) проводил наблюдения 60 дней и нашел, что выборочное среднее число продаваемых батонов равно 115 со средним квадратическим отклонением 12. Постройте 90%-ный доверительный интервал для требуемого числа батонов. Сравните полученные результаты с результатами предыдущей задачи. Можете ли Вы объяснить, почему полученный интервал меньше предыдущего?

Задача 36. Организация защиты прав потребителей оценивает средний расход бензина марки АИ-93 в новой модели автомобиля. Вследствие ограниченности времени и средств было проверено 25 автомобилей. Среднее квадратическое отклонение расхода бензина составило 2 литра на 100 км трассы. Какова длина 90%-ного доверительного интервала для оценки среднего расхода бензина?

Задача 37. Внешняя инспекционная проверка оценивает точность на­полнения 2-литровых бутылок с газированным безалкогольным напитком. Контрольная лаборатория завода проинформировала инспекторов, что среднее квадратическое отклонение наполнения 2-литровых бутылок составляет 0,05 литра. Случайная выборка 100 2-литровых бутылок дала выборочную среднюю 1,99 литра.

Постройте 95% доверительный интервал для оценки генерального сред­него значения объема заполнения 2-литровых бутылок с безалкогольным напитком.

Объясните, почему наблюдаемое значение 2,02 литра для 2-литровой бутылки не будет необычным, несмотря на то, что находится вне доверительного интервала, вычисленного Вами?

Задача 38. Постройте 95%-ные доверительные интервалы для средних двух выборок, извлеченных из нормально распределенной генеральной совокупности:

выборка 1: 1, 1, 1, 1, 8, 8, 8, 8

выборка 2: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Объясните, почему доверительные интервалы различны, несмотря на то, что выборочные средние значения совпадают.

Задача 39. Проводится выборка низкодоходных семей для определения стоимости расходов на питание. Известно, что среднее квадратическое отклонение расходов на питание составляет 25,75 рубля. Экономисты, занимающиеся оценкой стоимости питания, желают построить 95%-ный доверительный интервал, в котором находятся границы истинных расхо­дов на питание и хотели бы, чтобы предельная ошибка оценки не пре­восходила 3,95 рубля. Найдите подходящий объем выборки для решения этой задачи.

Задача 40. Производится выборочное обследование возраста читате­лей массовых библиотек. Имеется 30000 читательских карточек. Сколько карточек необходимо взять для обследования, чтобы с вероятностью 0,99 можно было бы утверждать, что выборочная средняя отклонится от гене­ральной средней по абсолютной величине не более чем на 1 год? Сред­нее квадратическое отклонение принять равным 5 годам.