Вопросы для самоконтроля

1. Чем занимается математическая статистика?

2. В чем состоит основная задача математической статистики?

3. Что такое генеральная совокупность?

4. Что называется выборочной совокупностью (выборкой)?

5. Что называется объемом совокупности?

6. В чем польза использования выборок?

7. Почему прибегают к выборочному исследованию при контроле качества ампул для инъекций?

8. Результаты переписи населения, проводимой в стране, являются генеральной совокупностью или выборкой?

9. Какая выборка называется повторной (выборка с возвращением)?

10. Какая выборка называется бесповторной (выборка без возвращения)?­

11. В чем состоит требование репрезентативности (представительности) выборки?

12. Что называют вариантами выборки?

13. Что называется частотой варианты выборки?

14. Что называется относительной частотой варианты выборки?

15. Что называют статистическим распределением выборки?

16. Какой вариационный ряд называется интервальным?

17. Как строится полигон для изображения дискретного вариацион­ного ряда?

18. Как строится гистограмма для представления интер-вального вариационного ряда?

19. Как построить эмпирическую функцию распределения?

20. Как построить эмпирическую плотность распределения?

Образцы решения типовых задач

Пример 1. 3аписать в виде вариационного ряда выборку 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4. Представить статистическое распре деление выборки.

Решение. Объем выборки . Упорядочив элементы выборки по ве­личине, получим вариационный ряд 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10. Различными в заданной выборке являются элементы их частоты соответственно равны Следовательно, статистическое распределение исходной вы­борки можно записать в виде следующей таблицы:

	2	3	4	5	7	10
	3	1	2	3	4	2

Для контроля правильности записи находим

Для каждого значения варианты можно найти также относительные частоты. В этом случае таблица для статистического ряда принимает следующий вид:

	2	3	4	5	7	10

Пример 2. Представить выборку в виде интервального статистического ряда:

38 60 41 51 33 42 45 21 53 60

68 52 47 46 49 49 14 57 54 59

77 47 28 48 58 32 42 58 61 30

61 35 47 72 41 45 44 55 30 40

67 65 39 48 43 60 54 42 59 50.

Решение. Объем выборки Наибольшая варианта – 77, наименьшая – 14. Найдем длину интервала по формуле (1.1):

Выбираем длину интервала 9. Интервальный статисти-ческий ряд при­нимает вид:

Таблица 1.4

Границы интер-валов
	2	3	6	17	10	9	3
	0,04	0,06	0,12	0,34	0,2	0,18	0,06

Пример 3. Построить эмпирическую функцию распреде-ления по результатам наблюдений, представленных в виде таблицы:

	2	3	4	5	7	10
	3	1	2	3	4	2

Решение. Объем выборки

Имеем при (наблюдений меньше 2 нет); при (здесь ) и т.д. Окончательно получаем

График эмпирической функции приведен на рисунке 1.3.

Рис. 1.3

Пример 4. Построить полигон относительных частот для статистического ряда, используя условие примера 1.

	2	3	4	5	7	10

Решение. Строим ломаную линию (рис. 1.4.), отрезки которой соединяют точки

Рис. 1.4

Пример 5. Построить полигон относительных частот и гистограмму для интервального статистического ряда, используя условие примера 2.

Решение. Для построения полигона частот найдем середины интервалов и дополним табл. 1.4.

Границы интер-валов
Середины интер-валов	18,5	27,5	36,5	45,5	54,5	63,5	72,5
	0,04	0,06	0,12	0,34	0,2	0,18	0,06

Ломаная линия (рис. 1.5) будет соединять точки с координатами

Рис. 1.5

Для построения гистограммы все относительные частоты необходимо разделить на длину интервала, равную 9, и откладывать по оси ординат. По оси абсцисс отмечаются границы интервалов (рис.1.6).

Рис. 1.6

Пример 6. Получены данные о числе цветных телевизоров, продаваемых ежегодно в магазине электроники в течение 26 дней:

16, 12, 15, 15, 23, 9, 15, 13, 14, 14, 21, 15, 14,

17, 27, 15, 16, 12, 16, 19, 14,16, 17, 13, 14, 14.

1. Расположите данные в возрастающем порядке (т. е запишите ранжированные варианты).

2. По ранжированным данным составьте дискретный вариацион­ный ряд распределения частот.

3. Составьте дискретный вариационный ряд относительных частот.

4. Составьте интервальный вариационный ряд частот.

5. Постройте полигон дискретного вариационного ряда частот.

6. Постройте гистограмму интервального ва­риационного ряда частот.

Решение. 1) Ранжируем данные:

9, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15,

15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 19, 21, 23, 27.

2) В исходных данных: 12, 13, 14, 15, 16, 17 повторяются. Следовательно, вариационный ряд можно представить в виде таблицы 1.5

Таблица 1.5

Значения признака	9	12	13	14	15	16	17	19	21	23	27
Число дней	1	2	3	6	5	3	2	1	1	1	1

В полученном ряду

3) Запишем дискретный вариационный ряд относи-тельных частот числа цветных телевизоров, проданных в течение 26 дней (табл. 1.6).

Таблица 1.6

	9	12	13	14	15	16	17	19	21	23	27
	0,04	0,08	0,11	0,23	0,19	0,11	0,08	0,04	0,04	0,04	0,04

4) Для данных примера имеем x_min = 9, а x_mах = 27 и число ин­тервалов

k = 1+3,322 lg n = 1+ 3,322·1,41497 = 5,7005 ≈ 6.

Находим ширину интервалов разбиения по формуле

Если бы оказалось, что h – дробное число (например, 3,9576), то за ширину интервала надо брать либо ближайшее, целое число 4, либо ближайшую простую дробь ≈ 3,96, ограничиваясь двумя знаками после запятой.

Построим вариационный ряд границ интервалов группиро­вания без корректировки границ первого и последнего интерва­лов, т.е. к x_min прибавляем 3 и получаем первый интервал от 9 до 12. И последующие интервалы получаются прибавлением к концу предыду­щего интервала ширины интервала h. Затем подсчитываем количество вариантов , попавших в каждый интервал.

При построении интервальных рядов в каждый промежуточный интервал можно включать варианты, числовые значения которых больше нижней границы интервала и меньше или равны верхней границы (или наоборот).

Таблица 1.7

Интервалы	[9; 12]	(12; 15]	(15; 18]	(18; 21]	(21; 24]	(24; 27]
	3	14	5	2	1	1

Например, из таблицы 1.7 видно, что в третий интервал (15; 18] по­пало 5 вариантов.

Если же в промежуточный интервал включаются варианты, чи­словые значения которых больше или равны нижней границы и меньше верхней границы, то частоты интервалов будут другими (табл. 1.8).

Таблица 1.8

Интервалы	[9; 12)	[12; 15)	[15; 18)	[18; 21)	[21;24)	[24; 27]
	1	11	10	1	2	1

Из таблицы 1.8 видно, что в третий интервал [15; 18) попало 10 вариантов.

Для того чтобы и попали внутрь первого и последнего интервалов группирования, начало (нижнюю границу) первого интервала рекомендуется брать как а конец последнего интервала как Промежуточные интервалы полу-чаются прибавлением к концу предыдущего интервала величины интервала h.

Сгруппированный вариационный ряд с корректировкой гра­ниц первого и последнего интервалов представим в виде табл. 1.9.

Таблица 1.9

Интервалы	[7,5; 10,5)	[10,5; 13,5)	[13,5; 16,5)	[16,5; 19,5)	[19,5; 22,5)	[22,5; 25,5)	[25,5; 28,5]
	1	5	14	3	1	1	1

Число интервалов разбиения увеличилось на 1, т. е.

5) Построим полигон дискретного вариационного ряда частот (табл.1.5).

Для построения полигона распределения дискретного вариаци­онного ряда на оси абсцисс откладывают варианты, а на оси ординат – частоты или относительные частоты. Полученные точки на их пересечении соединяют отрезками.

Рис. 1.7 Полигон распределения числа проданных цветных телевизоров для дискретного вариационного ряда

6) При построении гистограммы частот для ряда по данным табл. 1.8 на оси абсцисс отмечаются границы интервалов. И на них строят прямоугольники с высотой равной отношению

Рис. 1.8. Гистограмма интервального вариационного ряда

Пример 7. Для интервального вариационного ряда (по данным таблицы 1.9) постройте гистограмму относительных частот и эмпирическую функцию распределения.

Решение. Для построения гистограммы определим интервальные относительные частоты i = 1,7:

Следует заметить, что при вычислении интервальных относительных частот округления результатов следует проводить таким образом, чтобы общая сумма относительных частот была равна 1.

На оси абсцисс откладываем интервалы: на каждом из которых строим прямоугольник площадью; площадь по­строенных прямоугольников будет равна 1.

Соответствующая гистограмма изображена на рис. 1.9

Рис. 1.9 Гистограмма для интервального вариационного ряда

Используя данные табл. 1.9, построим эмпирическую функцию распределения. Очевидно, что для всех функция распре­деления равна нулю. Пусть теперь В этом случае число не определено, так как неизвестно, сколько значений признакаX, принадлежащих этому интервалу, меньше х. Если х = 10,5, то . Следовательно,

Рассуждая аналогично, убеждаемся, что точками, в которых зна­чение функции можно определить, являются правые концы интер­валов и все точки интервала [28,5; ). Определяем теперь значение функции в указанных точках и запишем в виде табл. 10.

Таблица 1.10

	7,5	10,5	13,5	16,5	19,5	22,5	25,5	28,5
	0	0,04	0,23	0,77	0,88	0,92	0,96	1

Как видно из последней табл. 1.10, функция определена не полностью (не для всех х известны ее значения). Поэтому при по­строении эмпирической функции ее надо доопределить: соединить точ­ки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой (рис. 1.10).

Рис. 1.10. Эмпирическая функция для интервального ряда

Пример 9. Для дискретного вариационного ряда (табл. 1.6) постройте полигон относительных частот и эмпирическую функцию распределения.

Решение. Для построения полигона относительных частот отложим на оси абсцисс зна­чения , а на оси ординат – значения относительных частот. Полу­ченные точки соединим отрезками прямой (рис. 1.11)

Рис.1.11. Полигон распределения относительных частот для дискретного вариационного ряда

Для построения эмпирической функции распределения воспользуемся относительными частотами

Объем совокупности по условию равен 26, т.е. n = 26. Наимень­ший вариант равен 9, значит, приТогдат.е. при

Если , то неравенство выполняется при условии, что Так как этот вариант встречается 1 раз, то т.е.

Если то неравенствоХ < х выполняется при усло­вии, что или. Так как вариантвстречается 1 раз, а вариантвстречается 2 раза, то т.е. и т.д.

График эмпирической функции приведен на рисунке 1.12.

Рис. 1.12. Эмпирическая функция для дискретного вариационного ряда относительных частот

Пример 10. В таблице представлены данные о числе сделок на фондовой бирже за квартал для 400 инвесторов.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	146	97	73	34	23	10	6	3	4	2	2

Построить гистограмму и полигон частот.

Решение. Для решения воспользуемся средствами MS Excel.

Сформируем таблицу исходных данных:

Сначала построим полигон частот. Для этого выберем диапазон исходных данных (B1: L2) и перейдем на вкладку Вставка, в окне Диаграммы из точечных выберем точечную диаграмму с прямыми отрезками и маркерами. Результат будет представлен в следующем виде:

Для построения гистограммы можно воспользоваться инструментом Пакета анализа Гистограмма, если данные представлены или их необходимо представить в виде интервального статистического ряда.

В этом примере данные представлены в виде статистического ряда и можно воспользоваться специальным типом диаграмм. Для этого снова выберем диапазон исходных данных и перейдем на вкладку Вставка, в окне Диаграммы выберем Рекомендуемые диаграммы. В появившемся окне ничего не меняем или выбираем Гистограмма с группировкой.

На листе появилась гистограмма. Теперь нажав на неё и перейдя на вкладку Конструктор, можно изменить её макет:

Пример 11. Анализируется выборка из 100 малых предприятий региона. Цель обследования – измерение коэффициента соотношения заемных и собственных средств х_i на каждом i-м предприятии. Результаты представлены в таблице.

5,56	5,45	5,48	5,45	5,39	5,37	5,46	5,59	5,61	5,31
5,46	5,61	5,11	5,41	5.31	5,57	5,33	5,11	5,54	5,43
5,34	5,53	5,46	5,41	5,48	5,39	5,11	5,42	5,48	5,49
5,36	5,40	5,45	5,49	5,68	5,51	5,50	5,68	5,21	5,38
5,58	5,47	5,46	5,19	5,60	5,63	5,48	5,27	5,22	5,37
5,33	5,49	5,50	5,54	5,40	5.58	5,42	5,29	5,05	5,79
5,79	5,65	5,70	5,71	5,85	5,44	5,47	5,48	5,47	5,55
5,67	5,71	5,73	5,05	5,35	5,72	5,49	5,61	5,57	5,69
5,54	5,39	5,32	5,21	5,73	5,59	5,38	5,25	5,26	5,81
5,27	5,64	5,20	5,23	5,33	5,37	5,24	5,55	5,60	5,51

Требуется построить гистограмму относительных частот с помощью Пакета анализа MS Excel.

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся специальным инструментом в Пакете анализа MS Excel Гистограмма. Для этого необходимо сделать следующее:

Сформировать таблицу исходных данных в MS Excel:

Предварительно посчитав значение интервала h и определив начало интервала, ввести границы интервала:

После этих действий необходимо перейти на вкладку Данные – Анализ данных и в появившемся списке выбрать инструмент Гистограмма.

В появившемся окне вводим следующие данные, где входной интервал – это диапазон исходных данных, интервал карманов – границы интервалов (для отображения гистограммы необходимо поставить флажок напротив пункта Вывод графика):

Результат будет представлен следующим образом:

Полученная гистограмма является гистограммой частот. Для получения гистограммы относительных частот необходимо добавить столбец, получаемый делением столбца Частота на объём выборки (n = 100) и выбрать в качестве данных для частоты новый полученный столбец: