III. Законы сохранения

§ 7. Энергия. Закон сохранения механической энергии

Рис. 58

 Пример 7.1. По двум параллельным горизонтальным рейкам катится без скольжения тонкостенный цилиндр массой M при помощи груза, подвешенного на нити, намотанной на цилиндр (рис. 58). Определить скорость v оси цилиндра в момент, когда груз опустится на расстояние h, если масса груза равна m, а система в начальный момент времени находилась в покое. Во все время движения нить с помощью специального устройства удерживается вертикальной.

Решение.

Поскольку в задаче идет речь о двух положениях груза, целесообразно применить закон изменения механической энергии в интегральной форме:

E₂ – E₁ = A' , (7.1)

где A' – работа сил, не учитываемых функцией Лагранжа.

Будем применять этот закон к системе «груз – цилиндр – Земля» для двух состояний  и , показанных на рисунке 58. Тогда, пользуясь школьной терминологией, A' = A_Н + A, то есть работа A' равна сумме работ внутренних непотенциальных (A_Н) и внешних (A) сил. В рассматриваемой системе непотенциальных сил нет, а A = 0, так как единственная внешняя сила – сила нормальной реакции – перпендикулярна перемещению цилиндра. Итак, A' = 0.

Механическая энергия E системы складывается из кинетической и потенциальной энергий. Примем исходное состояние  в качестве нулевого, то есть положим потенциальную энергию в этом состоянии равной нулю. Тогда E₁ = 0,

E₂ = m v_ГЗ² / 2 + M v² / 2 + J ² / 2 – m g h . (7.2)

В формуле (7.2) кинетическая энергия цилиндра записана по теореме Кенига. v – скорость оси цилиндра относительно Земли,  – угловая скорость цилиндра, J – его момент инерции. Для тонкостенного цилиндра радиуса R момент инерции J = M R². Угловая скорость  цилиндра связана со скоростью v формулой Эйлера. Учитывая, что цилиндр поворачивается вокруг мгновенной оси C (рис.58), эта формула дает

v =  R . (7.3)

Соотношение (7.1) справедливо в инерциальной системе отсчета. Поэтому в (7.2) входят скорости относительно Земли. Скорость v_ГЗ груза относительно Земли выразим по закону сложения скоростей:

_ГЗ = _ГЦ + _ЦЗ = + _ГЦ , (7.4)

где _ГЦ – скорость груза относительно оси цилиндра. Соответствующий векторный треугольник изображен на рисунке 58.

Скорость _ГЦ равна скорости примыкающих к нити точек цилиндра, если нить не проскальзывает. По формуле Эйлера эту скорость можно выразить так:

v_ГЦ =  R , (7.5)

имея в виду вращение вокруг оси O (рис.58).

Складывая (7.3) и (7.5), видим, что слагаемые в формуле (7.4) равны по модулю, и, следовательно, соответствующий векторный треугольник не только прямоугольный, но и равнобедренный. Поэтому

v_ГЗ = v . (7.6)

Подставив в (7.2) соотношения (7.3) и (7.6), получим из (7.1)

v = .



Задачи для самостоятельного решения

Рис. 59

Задача 7.1. Брусок массой m лежит на горизонтальной поверхности и прикреплен к недеформированной пружине с жесткостью k (рис.59). Его отводят вправо, растягивая пружину на величину l, и отпускают без начальной скорости. Какова должна быть величина коэффициента жесткости k, чтобы брусок, двигаясь сначала влево, затем изменил направление своего движения? Коэффициент трения бруска о поверхность – .

Ответ : k > 3 m g  / l .

 Задача 7.2. Частица движется прямолинейно вдоль оси x. Кинематическое уравнение имеет вид: x = k t³ , где t – время движения, а k – постоянная. Сила сопротивления среды пропорциональна квадрату скорости. Коэффициент сопротивления – k_С. Найти работу A силы сопротивления при перемещении частицы на величину a.

Ответ : A = – a² k k_С .

Рис. 60

Задача 7.3. Зубчатое колесо массой m₁ может катиться в вертикальной плоскости внутри неподвижной шестерни. Оно приводится в движение однородным стержнем AB, длина которого равна l, а масса – m (рис. 60). В начальный момент стержень составлял угол  = 60⁰ с вертикалью и был опущен без начальной скорости. Определить его угловую скорость  в момент прохождения колесом самого нижнего положения. Колесо считать сплошным однородным диском, сопротивлением движению пренебречь.

Ответ :  = .

 Задача 7.4. Тело массой M имеет форму цилиндра радиуса r. Его момент инерции относительно оси цилиндра равен J. Центр масс смещен относительно оси на величину a. Тело положили на горизонтальную плоскость так, что центр масс занимает наивысшее положение, и отпустили. Цилиндр покатился без скольжения. Определить скорость v оси цилиндра в тот момент, когда центр тяжести занимает самое нижнее положение.

Ответ : v = 2 r .

 Задача 7.5 Ш. На горизонтальный стол положили веревку длиной l так, что 1/4 ее свешивается со стола. Веревка начинает соскальзывать. Определить ее скорость v в тот момент, когда она полностью соскользнет. Коэффициент трения –  .

Ответ : v = (1/4).

 Задача 7.6 Ш. Шарик, подвешенный на пружине жесткостью k, погружен в жидкость. Плотность материала шарика  больше, чем плотность жидкости _Ж. Объем шарика – V. Вначале шарик удерживают в таком положении, что пружина не деформирована, а затем отпускают. Определить работу A сил сопротивления в процессе восстановления равновесия.

Ответ : A = – ( – _Ж) g V / (2 k) .

 Задача 7.7. С наклонной плоскости скатывается без скольжения тонкий обруч, в противоположных точках которого (на одном диаметре) укреплены два одинаковых точечных груза. В начальный момент обруч покоится. С какой скоростью v будет двигаться центр обруча в тот момент, когда он пройдет путь l ? Масса обруча много меньше массы грузов.

Решите задачу двумя способами, один из которых может быть применен в школе.

Ответ : v = .

 Задача 7.8. Бруску, лежавшему на наклонной плоскости, сообщили начальную скорость, направленную вверх по плоскости. При каком угле  наклона плоскости путь, пройденный бруском до остановки, будет наименьшим, если коэффициент трения скольжения равен  .

Ответ :  = arcctg  .

Рис. 61

Задача 7.9. К ползуну C, который может перемещаться в горизонтальном направлении, прикреплена пружина, имеющая в ненапряженном состоянии длину l₀ (рис. 61). Перемещая ползун, пружину растягивают в два раза, после чего ползун отпускают без начальной скорости. Определить, при каком коэффициенте трения  ползун остановится в точке B, вернув пружине недеформированное состояние, если при повороте установки ползуном вниз длина пружины в равновесном состоянии оказывается равной 2 l₀.

Ответ :  = 0.5 .

 Задача 7.10. В троллейбусе с инерционным двигателем на каждой промежуточной стоянке маховик разгоняется в течение трех минут от 1500 до 3000 об/мин, после чего, вращаясь по инерции, он приводит в движение троллейбус, которому в результате не нужны контактные провода. Масса маховика 1,5 т, диаметр – 1,6 м. Считая маховик однородным диском, найти мощность N двигателя, разгоняющего маховик. Сопротивлением пренебречь.

Ответ : N = 98.7 кВт.

 Задача 7.11. Ленточный транспортер (рис. 62) приводится в движение вращающим моментом M, приложенным к нижнему шкиву B. Определить скорость v ленты транспортера в зависимости от перемещения s ее точек, если масса поднимаемого груза A равна m₁, а шкивы B и C радиуса r и массы m₂ каждый представляют собой сплошные однородные цилиндры. Лента транспортера, массой которой следует пренебречь, образует с горизонтом угол . Скольжение ленты по шкивам отсутствует.

Рис. 62

Ответ : v = .

Рис. 63

Задача 7.12. К барабану лебедки (рис. 63) приложен вращающий момент M, пропорциональный углу поворота  барабана, причем коэффициент пропорциональности равен a. Определить скорость поднимаемого груза массой m в зависимости от высоты его подъема h. Масса барабана, который можно считать сплошным однородным цилиндром, равна m₁, его радиус – r. Массой троса пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.

Ответ : v = .