§ 9. Момент импульса. Применение законов сохранения

 Пример 9.1. Сплошной однородный цилиндр вращается вокруг своей горизонтальной оси с угловой скоростью ₀. Оси вращения сообщили перпендикулярную к ней горизонтальную скорость v₀, направленную в ту же сторону, что и скорость верхних точек цилиндра, после чего цилиндр положили на горизонтальную плоскость. Коэффициент скольжения между цилиндром и плоскостью равен . Как с течением времени t будет изменяться угловая скорость  цилиндра и скорость его оси? Через сколько времени t₁ прекратится скольжение цилиндра?

Решение.

Зависимость угловой скорости от времени может быть найдена с помощью закона изменения момента импульса относительно оси цилиндра:

dL / dt = J d / dt = M . (9.1)

Зависимость от времени скорости центра масс, лежащего на оси цилиндра, определяется законом изменения импульса:

dp / dt = m dv / dt = F , (9.2)

где m – масса цилиндра. Уравнение (9.2) записано в проекции на ось, сонаправленную с ₀ . Так что v – проекция скорости, а F – сумма проекций всех приложенных к цилиндру сил. Входящий в (9.1) момент инерции цилиндра

J = m r² / 2 , (9.3)

где r – радиус цилиндра.

В данной задаче отлична от нуля только сила трения. Если ось цилиндра движется медленнее, чем при качении без скольжения (v <  r) , то частицы цилиндра скользят назад, и F =  m g , а M = –  m g r . При достаточно большой скорость оси цилиндра (v >  r) частицы будут скользить вперед, и F = –  m g , а M =  m g r . Подстановка этих значений в уравнения (9.1) и (9.2) позволяет найти их решения.

Из (9.2) получим:

v = v₀ +  g t , если v <  r ; (9.4)

v = v₀ –  g t , если v >  r . (9.5)

Из (9.1) и (9,3) следует, что

 = ₀ – 2  g t / r , если v <  r ; (9.6)

 = ₀ + 2  g t / r , если v >  r . (9.7)

Пусть в начальный момент времени v₀ > ₀ r . Тогда скорость v будет убывать в соответствии с (9.5), а  – расти (смотри (9.7) ), пока в некоторый момент времени t₁ не наступит равенство

v₁ = v₀ –  g t₁ = ₁ r – ₀ r + 2  g t₁ . (9.8)

При этом исчезнет скольжение, F и M обратятся в нуль, и далее цилиндр в соответствии с (9.1) и (9.2) будет катиться без скольжения, вращаясь с угловой скоростью ₁. Ось цилиндра станет двигаться с неизменной скоростью v₁ = ₁ r .

Момент времени, начиная с которого прекратится скольжение, находится из (9.8):

t₁ = (v₀ – ₀ r) / (3  g) . (9.9)

Подстановка (9.9) в (9.8) дает значение установившейся скорости:

v₁ = ₁ r = (2 v₀ + ₀ r) / 3 (9.10)

Рис. 67

Если в начальный момент v₀ < ₀ , то, рассуждая аналогично, можно придти к заключению, что  будет убывать (9.6), а v – расти (9.4), пока в момент времени t₁ = (₀ r – v₀ ) / (3  g) не прекратится скольжение. Выражение для установившейся скорости не отличается от (9.10).

 Пример 9.2. Однородный стержень массой M и длиной l может свободно вращаться вокруг оси O (рис. 67). Его отпустили без толчка из горизонтального положения. Опустившись максимально вниз, он ударяет брусок. Масса бруска равна m. Удар неупругий. Коэффициент трения бруска о горизонтальную поверхность равен . Найти путь, пройденный бруском.

Решение.

В задаче можно выделить следующие состояния:

 – стержень находится в горизонтальном положении;

 – стержень в вертикальном положении непосредственно перед ударом;

 – брусок начал движение;

 – брусок остановился.

Переходы между этими состояниями удобно анализировать, примеряя законы изменения в интегральной форме.

Применим закон изменения механической энергии для перехода бруска из состояния  в состояние  :

0 – m v² / 2 = –  m g s . (9.11)

Здесь v – скорость, которую приобрел брусок в результате удара стержня.

Для нахождения скорости v запишем закон изменения момента импульса системы "брусок – стержень" при переходе из состояния  в состояние  :

m v l + J v / l – J  = F l t  0 . (9.12)

Первое слагаемое в (9.12) – момент импульса бруска, второе – момент импульса стержня после неупругого удара о брусок. J = M l² / 3– момент инерции стержня.  – угловая скорость стержня непосредственно перед ударом. F – сила сопротивления. Из-за малой продолжительности удара правой частью равенства (9.12) можно пренебречь. Действительно, F·t  m v, где t – время торможения бруска; t << t, Следовательно, F l t << F l t  m v l .

Величина  может быть определена применением закона изменения энергии к стержню при переходе его из состояния  в состояние :

J ² / 2 – 0 = M g l / 2 . (9.13)

В правой части (9.13) – работа сил тяжести, действующих на стержень. При ее нахождении можно считать массу стержня сосредоточенной в центре тяжести.

Из уравнений (9.11) – (9.13) получаем:

s = .