4.1.1 Определение степени принадлежности

Существует два класса методов определения функции принадлежности _x(u): прямые и косвенные.

Прямыми методами называют такие, в которых степень принадлежности представленного экземпляра базового множества нечеткому множеству непосредственно задается экспертом или группой экспертов. Прямые методы для одного эксперта отражают его субъективную оценку, а для группы экспертов предполагают некоторую интеграцию мнений экспертов с учетом степени их компетентности. Например, если каждому эксперту придать некоторые весовые коэффициенты a[0;1], отражающие степень их компетенции, то интегрированная оценка функции принадлежности может быть определена по формуле  (u)=_i(u)a_i/m, где m- число экспертов, _i(u)=1, если i-ый эксперт положительно отвечает на вопрос о принадлежности элемента u нечеткому множеству, и _i(u)=0 в противном случае.

Косвенные методы разбивают общую задачу определения степени принадлежности на ряд более простых подзадач. Одним из таких методов является метод попарного сравнения принадлежности элементов множеству X’.

Пусть дан носитель нечеткого множества X={u₁, u₂, u₃,...u_n} и известны функции принадлежности для каждого элемента нечеткого множества

{_X’(u₁), _X’(u₂), _X’(u₃),..._X’(u_n)}.

Если составить матрицу смежности М из элементов носителя нечеткого множества X, а позициями представить сравнительные оценки принадлежности нечеткому множеству, т.е. _X’(u_i)/_X’(u_j), то уравнение

М_*_X’(u)=E_*_X’(u),

где E –собственное значение матрицы M при условии, что _X’(u_i)=1

имеет единственное решение _X’(u)=(_X’(u₁); _X’(u₂); _X’(u₃);... _X’(u_n)), соответствующее максимальному собственному значению матрицей смежности М (см. табл. 4.1).

Если матрица сравнительной оценки построена неточно, т. е.

М_*_X’(u)= λ_max*_X’(u)≠E_*_X’(u),

то отклонение λ_max от E можно использовать для оценки точности решения уравнения на данном итерационном шаге

Для улучшения согласования решений полагают на главной диагонали матрицы _X’(u_i)/_X’(u_i)=1 , а для элементов, симметричных относительно главной диагонали, - _X’(u_i)/_X’(u_j)=1/_X’(u_j)/_X’(u_i).

Таблица 4.1

M	u1	u2	u3	...	un
u1	1	X’(u1)/X’(u2)	X’(u1)/X’(u3)	...	X’(u1)/X’(un)
u2	X’(u2)/X’(u1)	1	X’(u2)/X’(u3)	...	X’(u2)/X’(un)
u3	X’(u3)/X’(u1)	X’(u3)/X’(u2)	1	...	X’(u3)/X’(un)
...	...	...	...	...	...
un	X’(un)/X’(u1)	X’(un)/X’(u2)	X’(un)/X’(u3)	...	1

Опрос экспертов о том, насколько элемент u_i более значим, чем элемент u_j проводится по специальной таблице (см. табл. 4.2), где на естественном языке дана интерпретация сравнительной оценки значимости элементов x_i и x_j на базовой шкале [0; 9].

По этим оценкам можно составить матрицу смежности сравнительных оценок М’(см. табл. 4.3), где r_ij=_X’(u_i)/_X’(u_j).

Если вычислить сумму j-го столбца матрицы (см. табл. 4.3), т.е.

r_ij =_j, то при условии _X’(u_i)=1 имеем r_ij =(_X’(u_i)/_X’(u_j))= (_X’(u_i))/_X’(u_j)=1/_X’(u_j)=_j.

Или _X’(u_j)=1/_j.

Так можно вычислить значения каждой компоненты вектора _X’(u)=(_X’(u₁); _X’(u₂); _X’(u₃);... _X’(u_n)).

Таблица 4.2

сравнительные оценки значимости	интерпретация оценок значимости элементов ui /uj
0	несравнимая (нет смысла сравнивать)
1	одинаковая значимость
3	слабая значимость (нет доказательств предпочтения ui /uj)
5	существенная значимость (существенные признаки предпочтения ui /uj)
7	очевидная значимость (убедительные доказательства предпочтения ui /uj)
9	абсолютная значимость (максимальная значимость предпочтения ui /uj)
2, 4, 6, 8	промежуточные оценки
обратные значения	если оценка X’(ui)/X’(uj) имеет ненулевое значение, то X’(uj)/X’(ui)=1/X’(ui)/X’(uj)

Таблица 4.3

M’	u1	u2	u3	...	un
u1	1	r12	r13	...	r1n
u2	r21	1	r23	...	r2n
...	...	...	...	...	...
un	rn1	rn2	rn3	...	1
kj	k1	k2	k3	...	kn

Пример. Пусть для оценки плотности автомобилей на регулируемом перекрестке используется в качестве базового множества числo автомобилей в единицу времени U={0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40}. Необходимо определить степени принадлежности элементов этого множества нечеткому подмножеству “средняя плотность”. Опросом экспертов по табл. 4.2 получена матрица парных сравнений (см. табл. 4.4 ), которая после перехода от простых дробей к десятичным представлена табл. 4.5 .

Таблица 4.4

M’	0	5	10	15	20	25	30	35	40
0	1	1/2	1/7	1/8	1/9	1/8	1/7	1/2	1
5	2	1	1/2	1/5	1/7	1/5	1/2	1	2
10	7	2	1	1/2	1/5	1/2	1	2	7
15	8	5	2	1	1/2	1	2	5	8
20	9	7	5	2	1	2	5	7	9
25	8	5	2	1	1/2	1	2	5	8
30	7	2	1	1/2	1/5	1/2	1	2	7
35	2	1	1/2	1/5	1/7	1/5	1/2	1	2
40	1	1/2	1/7	1/8	1/9	1/8	1/7	1/2	1

Таблица 4.5

M’	0	5	10	15	20	25	30	35	40
0	1	0,5	0,14	0,125	0,11	0,125	0,14	0,5	1
5	2	1	0,5	0,2	0,14	0,2	0,5	1	2
10	7	2	1	0,5	0,2	0,5	1	2	7
15	8	5	2	1	0,5	1	2	5	8
20	9	7	5	2	1	2	5	7	9
25	8	5	2	1	0,5	1	2	5	8
30	7	2	1	0,5	0,2	0,5	1	2	7
35	2	1	0,5	0,2	0,14	0,2	0,5	1	2
40	1	0,5	0,14	0,125	0,11	0,125	0,14	0,5	1
j	45	24	12,28	5,65	2,9	5,65	12,28	24	45

Для определения _X’(u_j) воспользуемся формулой _X’(u_j)=1/_j.

Тогда X’={0,02/0; 0,04/5; 0,08/10; 0,18/15; 0,34/20; 018/25; 0,08/30; 0,04/35; 0,02/40}.

Для проверки точности решения задачи умножим матрицу M’на вектор r=(0,02; 0,04; 0,08; 0,18; 0,34; 018; 0,08; 0,04; 0,02}. В результате получим вектор чисел (0,18; 0,36; 0,85; 1,57; 2,96; 1,57; 0,85; 0,36; 0,18).

Поделим поэлементно значения вектора чисел на значения вектора r. Получим вектор (9; 9; 10,6; 8,7; 8,7; 8,7; 10,6; 9; 9), в котором i-ый элемент есть значение λ_max, соответствующее элементу _X’(u_i). Среднее значение λ_max равно 9,25. Следовательно, наибольшее отклонение λ_max от E равно 0,25. Следовательно точность решения уравнения равна 0,25/9=0,03. Такая точность достаточна.

Для нормализации нечеткого множества примем, что понятию “средняя плотность” в наибольшей степени соответствует 20 автомобилей в единицу времени. Поэтому степени принадлежности каждого элемента нечеткого множества поделим на степень принадлежности для 20 автомобилей, т.е.

X’={0,06/0; 0,12/5; 0,24/10; 0,53/15; 1/20; 0,53/25; 0,24/30; 0,12/35; 0,06/40}.

Для снижения числа элементов нечеткого множества часто отбрасывают те элементы, степень принадлежности которых достаточно мала. Для этого введем понятие степень разделения - . и сравним степень принад-лежности каждого элемента множества с заданным значе-нием . Если для множества “средняя плотность” принять =0,5, то в нечеткое множество войдут только три группы машин:

X’={0,53/15; 1/20; 0,53/25}.