35. Постулаты Бора

Нильс Бор (1885-1962)

Один из создателей современной физики. За заслуги в изучении строения атома стал лауреатом Нобелевской премии 1922 г.

Бор создал теорию атома, в основу которой легли планетарная модель атома, квантовые представления и предложенные им постулаты. Она была подлинной революцией в физике и вообще в представлениях человека об окружающем мире. Она показала, что атомы живут по законам, совершенно не похожим на те, которые управляют макроскопическим миром.

Важное значение имели и дальнейшие работы Бора по строению атомного ядра и взаимодействию частиц с веществом.

Первая попытка построить качественно новую - квантовую - теорию атома была предпринята в 1913 г. Бор поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ящерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света. В основу своей теории Бор положил два постулата.

Первая попытка построить качественно новую - квантовую - теорию атома была предпринята в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором (1885--1962). Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ящерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света. В основу своей теории Бор положил два постулата.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.

В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию

где т, - масса электрона, v - его скорость по n-й орбите радиуса rn, ℏ = h/(2p).

Второй постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией равной разности энергий соответствующих стационарных состоянии (Еn и Еm - соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения)).

При Ет<Еп происходит излучение фотона (переход атома из состояния с боль шей энергией в состояние с меньшей энергией, т. с. переход электрона с более удален ной от ядра орбиты на более близлежащую), при Ет>Еn- его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот v = (Еn – Еm)/h квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома.

36. Спин электрона. Спиновое квантовое число. При классическом движении по орбите электрон обладает магнитным моментом. Причем классическое отношение магнитного момента к механическому имеет значение

, (1)

где и — соответственно магнитный и механический момент. К аналогичному результату приводит и квантовая механика. Так как проекция орбитального момента на некоторое направление может принимать только дискретные значения, то это же относится и к магнитному моменту. Поэтому, проекция магнитного момента на направление вектора B при заданном значении орбитального квантового числа l может принимать значения

,

где — так называемый магнетон Бора.

О. Штерн и В. Герлах в своих опытах проводили прямые измерения магнитных моментов. Они обнаружили, что узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в s-состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса, а с ним и магнитный момент электрона равен нулю. Таким образом, магнитное поле не должно оказывать влияние на движение атомов водорода, т.е. расщепления быть не должно.

Для объяснения этого и других явлений Гаудсмит и Уленбек выдвинули предположение, что электрон обладает собственным моментом импульса , не связанным с движением электрона в пространстве. Этот собственный момент был назван спином.

Первоначально предполагалось, что спин обусловлен вращением электрона вокруг своей оси. Согласно этим представлениям для отношения магнитного и механического моментов должно выполняться соотношение (1). Экспериментально было установлено, что это отношение в действительности в два раза больше, чем для орбитальных моментов

.

По этой причине, представление электрона как о вращающемся шарике оказывается несостоятельным. В квантовой механике спин электрона (и всех других микрочастиц) рассматривается как внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Величина собственного момента импульса микрочастицы определяется в квантовой механике с помощью спинового квантового числа s (для электрона )

.

Проекция спина на заданное направление может принимать квантованные значения, отличающиеся друг от друга на . Для электрона

,

где — магнитное спиновое квантовое число.

Для полного описания электрона в атоме, таким образом, необходимо наряду с главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами задавать еще магнитное спиновое квантовое число.

Тождественность частиц. В классической механике одинаковые частицы (скажем, электроны), несмотря на тождественность их физических свойств, можно пометить, пронумеровав, и в этом смысле считать частицы различимыми. В квантовой механике ситуация кардинально меняется. Понятие траектории теряет смысл, и, следовательно, при движении частицы перепутываются. Это означает, что нельзя сказать, какой из первоначально помеченных электронов попал в ту или иную точку.

Таким образом, в квантовой механике одинаковые частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Это утверждение или, как говорят, принцип неразличимости одинаковых частиц имеет важные следствия.

Рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых частиц. В силу их тождественности состояния системы, получающиеся друг из друга перестановкой обеих частиц должны быть физически полностью эквивалентными. На языке квантовой механики это означает, что

,

где , — совокупности пространственных и спиновых координат первой и второй частицы. В итоге возможны два случая

.

Таким образом, волновая функция либо симметрична (не меняется при перестановки частиц), либо антисимметрична (т.е. при перестановке меняет знак). Оба этих случая встречаются в природе.

Релятивистская квантовая механика устанавливает, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. Частицы с полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями. Такие частицы называют фермионами, и говорят, что они подчиняются статистике Ферми-Дирака. Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями. Эти частицы называют бозонами, и говорят, что они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Сложные частицы (например, атомные ядра), состоящие из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин — полуцелый), а из четного — бозонами (суммарный спин целый).

Принцип Паули. Атомные оболочки. Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два фермиона, входящих в эту систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной.

Из этого положения вытекает принцип запрета Паули: любые два фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.

Распределение электронов в атоме по состояниям подчиняется принципу Паули, поэтому два электрона, находящихся атоме, различаются значениями, по крайней мере, одного квантового числа.

Определенному значению n соответствует различных состояний, отличающихся l и . Так как может принимать лишь два значения ( ), то максимальное число электронов, находящихся в состояниях с данным n, будет равно . Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же квантовое число n, называют электронной оболочкой. В каждой электроны распределяются по подоболочкам, соответствующих данному l. Максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно .

37. Квантовые состояния атома. Благодаря малым размерам и большой массе ядро атома можно приближенно считать точечным и покоящимся в центре масс атома, и рассматривать атом, как систему электронов, движущихся вокруг неподвижного центра - ядра. Полная энергия такой системы Е равна сумме кинетических энергий Т всех электронов и потенциальной энергии U, которая складывается из энергии притяжения электронов ядром и энергии взаимного отталкивания электронов друг от друга. Атом подчиняется законам квантовой механики; его основная характеристика как квантовой системы - полная энергия Е - может принимать лишь одно из значений дискретного ряда Е1 < Е2 < Е3 < ...; промежут. значениями энергии атом обладать не может. Каждому из "разрешенных" значений Е соответствует одно или несколько стационарных (с не изменяющейся во времени энергией) состояний атома Энергия Е может изменяться только скачкообразно - путем квантового перехода атома из одного стационарного состояния в другое. Методами квантовой механики можно точно рассчитать Е для одноэлектронных атомов - водорода и водородоподобных: Е= —hcRZ2/n2, где h - постоянная Планка, с-скорость света, целое число п = 1, 2, 3, ... определяет дискретные значения энергии и наз. главным квантовым числом; R-постоянная Ридберга (hcR = 13,6 эВ). При использовании СИ формула для выражения дискретных уровней энергии одноэлектронных атомов записывается в виде:

где те- масса электрона, -электрическая постоянная Возможные "разрешенные" значения энергии электронов в атоме изображают в виде схемы уровней энергии - горизонтальных прямых, расстояния между которыми соответствуют разностям этих значений энергий (рисунок 1). наиболее низкий уровень E1, отвечающий минимально возможной энергии, называют основным, все остальные - возбужденными. Аналогично называют состояния (основное и возбужденные) которым соответствуют указанные уровни энергии. С ростом п уровни сближаются и при энергия электрона приближается к значению, отвечающему свободному (покоящемуся) электрону, удаленному из атома. Квантовое состояние атома с энергией Е полностью описывается волновой функцией где r-радиус-вектор электрона носитель ядра Произведение равно вероятности нахождения электрона в объеме dV, то есть - плотность вероятности. Волновая функция определяется уравнением Шрёдингера = где R-оператор полной энергии (гамильтониан). ряду с энергией движение электрона вокруг ядра (орбитальное движение) характеризуется орбитальным моментом импульса (орбитальным механическим моментом) М1; квадрат его величины может принимать значения, определяемые орбитальным квантовым числом l = 0, 1, 2, ...; где При заданном и квантовое число l может принимать значения от 0 до (и — 1). Проекция орбитального момента на некоторую ось z также принимает дискретный ряд значений Мlz = , где ml-магнитное квантовое число, имеющее дискретные значения от — l до +l(-l,... - 1, 0, 1, ... + l), всего 2l + 1 значений. Ось z для атома в отсутствие внешних сил выбирается произвольно, а в магнитном поле совпадает с направлением вектора напряженности поля. Электрон обладает также собственным моментом импульса -спином и связанным с ним спиновым магнитным моментом. Квадрат спинового механического момента МS2 = S(S + + 1) определяется спиновым квантовым числом S = 1/2, а проекция этого момента на ось z Msz = = квантовым числом ms, принимающим полуцелые значения ms=1/2 и ms = -1/2.

Стационарное состояние одноэлектронного атома однозначно характеризуется четырьмя квантовыми числами: n, l, ml и ms. Энергия атома водорода зависит только от n, и уровню с заданным n соответствует ряд состояний, отличающихся значениями l, ml, ms. Состояния с заданными nи l принято обозначать как 1s, 2s, 2p, 3s и т.д., где цифры указывают значения k, а буквы s, p, d, f и дальше по латинскому алфавиту соответствуют значениям l = 0, 1, 2, 3, ... Число различных состояний с заданными n и l равно 2(2l+ 1) числу комбинаций значений ml и ms. Общее число разл. состояний с заданным n равно т. е. уровням со значениями п = 1, 2, 3, ... соответствуют 2, 8, 18, ..., 2n2 разл. квантовых состояний. Уровень, которому соответствует лишь одно квантовое состояние (одна волновая ф-ция), назsdf.n невырожденным. Если уровню соответствует два или более квантовых состояний, он называется вырожденным. В атоме водорода уровни энергии вырождены по значениям l и ml; вырождение по ms имеет место лишь приближенно, если не учитывать взаимодействия спинового магнитного момента электрона с магнитным полем, обусловленным орбитальным движением электрона в электрическом поле ядра. Это - релятивистский эффект, малый в сравнении с кулоновским взаимодействием, однако он принципиально существен, так как приводит к дополнительному расщеплению уровней энергии, что проявляется в атомных спектрах в виде так называемой тонкой структуры.

При заданных n, l и ml квадрат модуля волновой ф-ции определяет для электронного облака в атоме среднее распределение электронной плотности. Различные квантовые состояния атома водорода существенно отличаются друг от друга распределением электронной плотности (рис. 2). Так, при l = 0 (s-состояния) электронная плотность отлична от нуля в центре атома и не зависит от направления (т.е. сферически симметрична), для остальных состояний она равна нулю в центре атома и зависит от направления.

В многоэлектронных атомах вследствие взаимного электростатического отталкивания электронов существенно уменьшается прочность их связи с ядром. Например, энергия отрыва электрона от ион. Не+ равна 54,4 эВ, в нейтральном атоме Не она значительно меньше - 24,6 эВ. Для более тяжелых атомов связь внешних электронов с ядром еще слабее. Важную роль в многоэлектронных атомах играет специфическое обменное взаимодействие, связанное с неразличимостью электронов, и тот факт, что электроны подчиняются принципу Паули, согласно которому в каждом квантовом состоянии, характеризуемом четырьмя квантовыми числами, не может находиться более одного электрона Для многоэлектронного атома имеет смысл говорить только о квантовых состояниях всего атома в целом. Однако приближенно, в так называемом одноэлектронном приближении, можно рассматривать квантовые состояния отдельных электронов и характеризовать каждое одноэлектронное состояние (определенную орбиталъ, описываемую соответствующей функцией) совокупностью четырех квантовых чисел n, l, ml и ms. Совокупность 2(2l+ 1) электронов в состоянии с данными n и l образует электронную оболочку (назsdftve. также подуровнем, подоболочкой); если все эти состояния заняты электронами, оболочка называется заполненной (замкнутой). Совокупность 2n2 состояний с одним и тем же n, но разными l образует электронный слой (наз. также уровнем, оболочкой). Для n= 1, 2, 3, 4, ... слои обозначают символами К, L, M, N, ... Число электронов в оболочках и слоях при полном заполнении приведены в таблице: