30. Частица в потенциальной яме : квантование энергии.
Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия U частицы меньше некоторого значения Umax. Движение коллективизированных эл-нов в атоме рассматривается в классической электронной теории как движение в потенциальной яме, причем вне металла потенциальная энергия эл-на равна нулю, а внутри металла она отрицательна и численно равна работе выхода эл-на. Физические в-ны, которые могут принимать лишь определенные дискретные значения, называются квантованными. Собственные значения энергии W частицы в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины : W = n2h2/2mL2, где n=(1,2,..). Квантованные значения Wn называются уровнями энергии, а числа n - квантовыми числами.
Частица в потенциальной яме : вероятность нахождения.
Описывается стационарным уравнением Шредингера для частицы в потенциальной яме - Вероятность найти частицу вне потенциальной ямы равна нулю.
. Туннельный эффект.
Туннельным эффектом называется прохождение частиц сквозь потенциальные барьеры(поле сил, действующих на частицу). Туннельный эффект является квантомеханическим эффектом, связанным с тем, что частицы обладают волновыми св-вами. Прозрачностью D потенциального барьера назыв. величина : D = Iпрох/Iпад, Iпрох - интенсивность волны де Бройля, прошедшей сквозь барьер, Iпад - падающей на барьер.
ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ, квантовый эффект, состоящий в проникновении квантовой частицы сквозь область пространства, в которой согласно законам классич. физики нахождение частицы запрещено. Классич. частица, обладающая полной энергией E и находящаяся в потенц. поле, может пребывать лишь в тех областях пространства, в которых ее полная энергия не превышает потенц. энергию U взаимодействия с полем. Поскольку волновая ф-ция квантовой частицы отлична от нуля во всем пространстве и вероятность нахождения частицы в определенной области пространства задается квадратом модуля волновой ф-ции, то и в запрещенных (с точки зрения классич. механики) областях волновая ф-ция отлична от нуля.
T. э. удобно иллюстрировать на модельной задаче об одномерной частице в поле потенциала U(x) (x - координата частицы). В случае симметричного двухъямного потенциала (рис. а)волновая ф-ция должна "умещаться" внутри ям, т. е. она представляет собой стоячую волну. Дискретные энерге-тич. уровни, которые расположены ниже барьера, разделяющего минимумы потенциала, образуют близко расположенные (почти вырожденные) пары. Разность энергетич. уровней, составляющих пару, наз. туннельным расщеплени-е м, эта разность обусловлена тем, что точное решение задачи (волновая ф-ция) для каждого из квантовых состояний дело-кализовано в обоих минимумах потенциала и все точные решения отвечают невырожденным уровням (см. Вырождение энергетических уровней). Вероятность T. э. определяется коэффициентом прохождения сквозь барьер волнового пакета, который описывает нестационарное состояние частицы, локализованной в одном из минимумов потенциала.
Кривые потенц. энергии U (х)частицы в случае, когда на нее действует сила притяжения (а - две потенц. ямы, б - одна потенц. яма), и в случае, когда на частицу действует сила отталкивания (отталкивательный потенциал, в). E -полная энергия частицы, х - координата. Тонкими линиями изображены волновые ф-ции.
В потенц. поле с одним локальным минимумом (рис. б)для частицы с энергией E, большей потенциала взаимодействия при c = , дискретные энергетич. состояния отсутствуют, но существует набор квазистационарных состояний, в которых велика относит. вероятность нахождения частицы вблизи минимума. Волновые пакеты, отвечающие таким квазистационарным состояниям, описывают метастабильные квантовые состояния; волновые пакеты расплываются и исчезают вслед-ствии T. э. Эти состояния характеризуются временем жизни (вероятностью распада) и шириной энергетич. уровня.
Для частицы в отталкивательном потенциале (рис. в)волновой пакет, описывающий нестационарное состояние по одну сторону от потенц. барьера, даже если энергия частицы в этом состоянии меньше высоты барьера, может с определенной вероятностью (наз. вероятностью проникновения или вероятностью туннелирования) проходить по др. сторону барьера.
Наиб. важные для химии проявления T. э.: 1) туннельные расщепления дискретных колебат., вращат. и электронно-ко-лебат. уровней. Расщепления колебат. уровней в молекулах с неск. эквивалентными равновесными ядерными конфигурациями - это инверсионное удвоение (в молекулах типа аммиака), расщепление уровней в молекулах с заторможенным внутр. вращением (этан, толуол) или в нежестких молекулах. для которых допустимы внутримол. перегруппировки, приводящие к эквивалентным равновесным конфигурациям (напр., PF5). Если разл. эквивалентные минимумы на поверхности потенциальной энергии оказываются разделенными потенц. барьерами (напр., равновесные конфигурации для право- и левовращающих изомеров сложных молекул), то адекватное · описание реальных мол. систем достигается с помощью, локализованных волновых пакетов. В этом случае пара дело-кализованных в двух минимумах стационарных состояний неустойчива: под действием очень малых возмущений возможно образование двух состояний, локализованных в том или ином минимуме.
Расщепление квазивырожденных групп вращат. состояний (т. наз. вращательных к л а с т е r о в) также обусловлено туннелированием мол. системы между окрестностями неск. эквивалентных стационарных осей вращения. Расщепление электронно-колебат. (вибронных) состояний происходит в случае сильных Яна - Теллера эффектов. С туннельным расщеплением связано и существование зон, образуемых электронными состояниями отдельных атомов или мол. фрагментов в твердых телах с периодич. структурой.
2)
Явления переноса частиц и элементарных
возбуждений. Данная совокупность явлений
включает нестационарные процессы,
описывающие переходы между дискретными
состояниями и распад квазистационарных
состояний. Переходы между дискретными
состояниями с волновыми ф-циями,
локализованными в разл. минимумах одного
адиабатич. потенциала, соответствуют
разнообразным хим. реакциям. T. э. всегда
вносит некоторый вклад в скорость
реакции, однако этот вклад существен
только при низких температурах, когда
надбарьер-ный переход из исходного
состояния в конечное маловероятен из-за
низкой заселенности соответствующих
уровней энергии. T. э. проявляется в
неаррениусовском поведении скорости
r-ции; характерный пример - рост цепи при
ради-ационно-инициированной полимеризации
твердого формальдегида. Скорость этого
процесса при температуре ок. 140 К
удовлетворительно описывается законом
Аррениуса с энергией активации 0,1 эВ.
Однако при температурах
12 К достигается скорость реакции,
которая не зависит от температуры,
определяется T. э. и оказывается на много
порядков выше скорости, которую можно
было бы ожидать при той же температуре
в предположении справедливости
надбарьерного механизма реакции (см.
Криохимия).
Распад метастабильных состояний лежит в основе целого ряда явлений. К ним относятся, в частности, ос-распад (см. Радиоактивность), колебат. и вращат. предиссоциациА, автоионизация атомов в сильном электрич. поле, ионизация атомов и молекул в сильном электромагн. поле. Туннельное прохождение электронов из одного проводника (или полупроводника) в другой через слой изолятора (туннельный ток) является макроскопич. эффектом, обусловленным T. э. Это явление лежит в основе туннельной сканирующей микроскопии твердых тел.
31. Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора, при этом рассматривают не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию гармонического осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.
Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:
В
координатном представлении
Задача об отыскании
уровней энергии гармонического
осциллятора сводится к нахождению таких
чисел E при которых следующее
дифференциальное уравнение в частных
производных
имеет решение в
классе квадратично интегрируемых
функций.
Для
решение имеет вид:
Данный спектр
значений E заслуживает внимания по двум
причинам: во-первых, уровни энергии
дискретны то есть разница в энергии
между двумя соседними уровнями постоянна
и равна
во-вторых наименьшее
значение энергии равно
Этот уровень
называют основным, вакуумом, или уровнем
нулевых колебаний
Переходы под влиянием внешней силы
Под
влиянием внешней силы
квантовый осциллятор
может переходить с одного уровня энергии
на другой
Вероятность этого
перехода
для осциллятора
без затухания даётся формулой:
где функция
определяется как:
28. Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих квантовую систему физических наблюдаемых (см. физическая величина), описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Соотношение неопределенностей[* 1] задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней квантовой механики.
Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана, так и для неидеальных измерений.
Согласно принципу неопределённостей, частица[* 2] не может быть описана как классическая частица, то есть например у нее не могут быть одновременно точно измерено положение и скорость (импульс)[* 3]. Принцип неопределённости уже в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда ни одна из двух крайних ситуаций (полностью определенный импульс и полностью неопределенная пространственная координата - или полностью неопределенный импульс и полностью определенная координата) не реализуется.
Пример: частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; она не характеризуется ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой (волновая функция частицы делокализована на всё пространство коробки, то есть ее координаты не имеют определенного значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки), ни определённым значением импульса (учитывая его направление![* 4]).
Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).
Соотношение неопределенностей в квантовой механике в математическом смысле есть непосредственное прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье[* 5].
Существует
точная количественная аналогия между
соотношениями неопределённости
Гейзенберга и свойствами волн или
сигналов. Рассмотрим переменный во
времени сигнал, например звуковую волну.
Бессмысленно говорить о частотном
спектре сигнала в какой-либо момент
времени. Для точного определения частоты
необходимо наблюдать за сигналом в
течение некоторого времени, таким
образом теряя точность определения
времени. Другими словами, звук не может
одновременно иметь и точное значение
времени его фиксации, как его имеет
очень короткий импульс, и точного
значения частоты, как это имеет место
для непрерывного (и в принципе бесконечно
длительного) чистого тона (чистой
синусоиды). Временно́е положение и
частота волны математически полностью
аналогичны координате и (квантово-механическому)
импульсу частицы. Что совсем не
удивительно, если вспомнить, что
то есть импульс в
квантовой механике — это и есть
пространственная частота вдоль
соответствующей координаты.
В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем квантовую неопределённость потому, что значение чрезвычайно мало, и поэтому соотношения неопределенностей накладывают такие слабые ограничения на погрешности измерения, которые заведомо незаметны на фоне реальных практических погрешностей[* 6] наших приборов или органов чувств.
где
— приведённая постоянная Планка.
В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распределения переменных, приводит для произведения неопределённостей к большей нижней границе .
Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определён точно, в то время как x — нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.
Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу (как он был впервые предложен Гейзенбергом). В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения «неопределённостей» двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем
Теорема.
Для любых самосопряжённых операторов:
и
и любого элемента
x из H такого, что ABx и BAx оба определены
(то есть, в частности, Ax и Bx также
определены), имеем:
Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости, впервые выведенная в 1930 г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером:
Это неравенство называют соотношением Робертсона — Шрёдингера.
Оператор AB − BA называют коммутатором A и B и обозначают как [A,B]. Он определен для тех x, для которых определены оба ABx и BAx.
Из соотношения Робертсона — Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга:
Предположим, A и B — две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если ABψ и BAψ определены, тогда
Где
среднее значение оператора величины X в состоянии ψ системы, и
оператор стандартного отклонения величины X в состоянии ψ системы.
Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.
То же самое может быть сделано не только для пары сопряжённых операторов (например координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары Эрмитовых операторов. Существует отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.
Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A и B, которые имеют один и тот же собственный вектор ψ. В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B.
Общие наблюдаемые переменные, которые подчиняются принципу неопределённости
Предыдущие математические результаты показывают, как найти соотношения неопределённостей между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B, коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.
самое известное отношение неопределённости — между координатой и импульсом частицы в пространстве:
отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:
где i, j, k различны и Ji обозначает угловой момент вдоль оси xi.
следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:
Следует
подчеркнуть, что для выполнения условий
теоремы, необходимо, чтобы оба
самосопряженных оператора были определены
на одном и том же множестве функций.
Примером пары операторов, для которых
это условие нарушается, может служить
оператор проекции углового момента Lz
и оператор азимутального угла.
Первый из них является самосопряженным только на множестве 2π-периодичных функций, в то время как оператор
очевидно, выводит из этого множества. Для решения возникшей проблемы можно вместо взять sin φ, что приведет к следующей форме принципа неопределенности
Однако, при
условие
периодичности несущественно и принцип
неопределенности принимает привычный
вид
:
32. Тождественные (иначе неразличимые) частицы — это частицы, которые принципиально не могут быть распознаны и отличены одна от другой, то есть подчиняются Принципу тождественности одинаковых частиц. К таким частицам относятся: элементарные частицы (электроны, нейтроны и т. д.) а также составные микрочастицы, такие как атомы и молекулы. Существует два больших класса тождественных частиц: бозоны и фермионы.
[править]
Различение частиц
Есть два способа, которыми можно различить частицы. Первый метод основывается на различиях внутренних физических свойств частиц, таких как масса, электрический заряд, и спин. Если отличия существуют, то мы можем различить частицы, измеряя соответствующие свойства. Однако, также известно из опыта, что у микроскопических частиц одного типа существует полностью эквивалентные физические свойства. Например, у каждого электрона во Вселенной есть точно тот же самый электрический заряд; это — то, почему мы можем говорить о такой вещи как «элементарный заряд электрона».
Даже если частицы обладают эквивалентными физическими свойствами, остаётся второй метод, чтобы различить частицы, который должен отследить траекторию каждой частицы. Пока мы можем измерить положение каждой частицы с бесконечной точностью (даже когда частицы сталкиваются), не было бы никакой двусмысленности, о которой частице идёт речь. Проблема с этим подходом состоит в том, что он противоречит принципам квантовой механики. Согласно квантовой теории, частицы не обладают определёнными положениями между измерениями. Вместо этого ими управляют волновые функции, квадрат модуля которых даёт вероятность обнаружения частицы в каждом положении. С течением времени, волновые функции имеют тенденцию распространяться и интерферировать. Как только это случается, становится невозможно определить, в последующем измерении, какое из положений частицы соответствуют измеренному ранее. Частицы, как тогда говорят, «неразличимы».