- •2. Свойства линейных пространств
- •4Базис лин. Пр-ва, размерность. Коорд-ты.
- •5, 6 Матрич.Запись коо вект-в, изм. Коо при замене базиса
- •8. Изоморфизм векторных пространств, универсальный пример конечномерного векторного пространства.
- •9.Сумма и произведение линейных пространств
- •10. Линейный оператор, примеры, свойства.
- •11. Матрица лин. Оп-ра. Изменение матр. Оп-ра при замене базиса.
- •12. Действия над лин. Оп-ми. Матр. Суммы и произвед. Лин. Оп-ров.
- •13.Обратный лин. Оператор его матрица
- •14.Собственные векторы л.О., собств. Значения, характерист. Уравнение.
- •15.Правило нахождения собств. Векторов и собств. Значений
- •16 Модель бездефецитной торговли
- •17 Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
- •18. Присоединенные векторы
- •19. Понятие о жордановой форме матрицы
- •20. Евклидовы пространства. Определение, примеры
- •21. Свойства скалярного произведения, длина вектора, угол между векторами
- •22. Ортонормированные системы векторов.
- •23.Метод ортогонализации Грамма – Шмидта.
- •28.Симметрические матицы и их свойства. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду.
- •29.. Сопряж. Операторы и их св-ва.
- •33. Разложение произвольного линейного оператора в произведение самосопряженного оператора и изометрии.
- •34. Билинейная форма, ее матрица, изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.
- •35. Квадратичная форма и ее матричная запись.
- •36. Изменение матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных, канонический вид квадратичной формы.
- •37. Приведение квадратичной формы к каноническому виду, закон инерции для квадратичных форм.
- •38 Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
1.Определение линейного пространства. Примеры.
Рассмотрим некоторое множество V, элементов произвольной природы. Будем говорить, что в множестве V определена внутренняя операция. Ели двум элементам a,bϵVставиться в соответствие элемент сϵV, по некоторому правилу, будем обозначать c=a+b (+-внутр операция), некоторое поле Р. Будем говорить, что в мн-веV задана внешняя операция над полем Р, если каждому элементу aϵV и некоторому αϵР ставиться в соответствие элемент b=α*a.
Опред.Линейным(векторным) пространством над полем Р будем называть множество V с элементами произвольной природы, если в этом множестве определены внутренние и внешние операции, которые удовлетворяют следующим условиям:
для любых a, bϵVсправедливо а+b=b=a.
для любых a, b,сϵV справедливо (a+b)+c=a+(b+c)
существует ō – нейтральный элемент, такой что для любого aϵV справедливо равенство: а+ ō=а.
для всякого aϵV существует (-а), такой что а+(-а)=ō
для любого αϵР, для всех a, bϵV: α(а+b)=αа+αb
для всех α, βϵР и для всех аϵV справедливо (α+β)а=αа+βа
для всех α, βϵР, для всех аϵV справедливо:(α*β)*а=α*(β*а)
1*а=а, для всех аϵV.
Примеры лин. пространств:
Возьмем мн-во V- мн-во трёхмерных свободных векторов: P=R. В дальнейшем элементы линейного пространства будем называть векторами, потому что лин. Пространства назыв. векторными.
В качестве V возьмём мн-во R и в качестве Рвозьмём R:V=R, P=R, легко проверить что V является пространством над полем R.
V=R, P=С, над полем С не будет линейного пространства, V=R не является линейным пространством над полем С.
V=Rn*m-множество матриц размерностью n*m с дейсвительными элементами, а в качестве поля Рвозьмём тоже R:P=R.
V=R+-множество положит. чисел, поле P=R. а*b-внутр операция(aϵV, bϵV ,то и с=а*bϵV. Внешняя операция: а αϵV.
Внутр ивнешн операции должны соответствовать 8 условиям:
a*b=b*a,для всех a,bϵR+
(a*b)*c=a(b*c)
a*1=a
(-a)=1/a, a*1/a=1
(a*b)α=aα *bα
aαβ=(aβ)α
aα+β=aα*aβ
a1=a
т.о. является лин пространством
2. Свойства линейных пространств
в любом линейном пространстве ō (нейтральный элемент, ноль)(единственность ō)
∆. Пусть существует ещё один ō1 :а+ō=а; а+ō 1=а; ō1=ō1+ō=ō+ō 1=ō
для всякого а ϵV существует единственный (-а)(единственность обратного элемента)
∆. а+(-а)=ō ; а+а1=ō; а1=а1+ō=а1+(а+(-а))=(а1+а)+(-а)=(а+а1)+(-а)=ō+(-а)=(-а)+ō=(-а)
0*а=ō
∆. 0*а=0*а+ō=0*а+(а+(-а))=0*а+(1*а+(-а))=(0*а+1*а)+(-а)=(0+1)а+(-а)=1*а+(-а)=а+(-а)=ō
(-1)*а=(-а)
Для всех αϵР , α*ō=ō
3.Линейная зависимость системы векторов.Vнад полем P
Набор чисел α1,α2…..αn, αiϵР называется ненулевым, если среди них имеется по крайней мере одно число, отличное от нуля. И нулевым, если все числа нули.
Выражение вида α1а1+α2а2+…..αnаn называют линейной комбинацией векторов а1,а2…..аn.
Опр.вектора а1,а2…..аnиз V называются линейно зависимыми, если существует ненулевой набор чисел α1,α2…..αn, такой что: α1а1+α2а2+…..αnаn=Ō→(1), векторы а1,а2…..аnназываются линейно-независимыми, если равенство 1 возможно лишь в том случае, когда все αi=0,i=1…..n.
V3-мн-во свободных векторов в трёхмерном пространстве. Возьмём 2 вектора 1, 2: α1 1+ α2 2= , векторы коллинеарны если 3 вектора 1, 2, 3- линейно независимые.
V=R, Р=R. а1,а2ϵR=V, α1,α2ϵ2R=Р→αа1+αа2=0
V=с, Р=с. а1=1,а2=i. α1=1,α2=iϵР=с. 1*1+i*i=0
V=С, Р=R, а1=1,а2=i – не будут линейно завис., α1*1+α2*i =0, α1=α2=0
Метод частных значений: V- мн-во непрерывных функций.
а1=1,а2=sin x, a3=sin 2x. α1*1+α2*sin x+α3*sin 2x=0. x=0,α1=0.. x=π/2, α2=0, x=π/4, α3=0
Метод дифференцирования: а1=1,а2=x, a3=x2 . α1*1+α2*x+α3*x2=0.α1=0,α2=0,α3=0.линейно независимы
Св-ва линейной зависимости(независимости):
Если среди векторов а1,а2…..аn. имеется 0-вектор(нейтральн элемент)-линейно зависимая.
∆. 2) а1=0, 1,0…0. 1*Ō+0* а2+0* α3+…..+0* аn=Ō
Если система векторов а1…..аn имеет линейно зависимую подсистему а1…..аm, m<n, то эта система векторов линейно зависима.
∆. а1…..аm – линейно-зависимы, то существует ненулевой набор а1…..аn, то существует α1а1+…..αmаm =Ō
а1…..аn-линейно-зависима, то по крайней мере один из них выражается в виде линейной комбинации остальных.
∆. а1…..аnα1а1+…..αnаn =Ō→/α1. Пусть α1≠0, а1+α2/α1*а2+…..αn/α1*аn=Ō. а1= -α2/α1*а2…..-αn/α1*аn
4Базис лин. Пр-ва, размерность. Коорд-ты.
Базисом в пр-ве L над полем Р наз-ся система в-ров (1), удовл-я усл-ям:
1Система (1) лин. независима;
2"xϵL $ : x=α1a1+α2a2+…+αnan(2)
Коорд. в-ра х в базисе (1) – числа (αiϵP), удовл-щие усл-ю (2)
Св-ва:
1Если коорд. вектора в некотором базисе =0,то это нулевой вектор.
2 во всяком базисе имеет нулевые коорд.
3Коорд. в-ров в заданном базисе определяются однозначно.
4 При сложении векторов их коорд. заданные в одном и том же базисе складываются.
5При умножении вектора на число, его коорд. умн-ся на число.
Критерий линейной зависимости: Для того, чтобы в-ры а1…аn были лин. завсисимы, необх. и дост., чтобы rank матрицы, посторенной на корд. столбцах этих векторов а1…ак в некотором базисе был < числа векторов.
Rank (A1,A2….Ak)<K
Критерий линейной независимости: Для того, чтобы в-ры а1…аn были лин. незавсисимы, необх. и дост., чтобы rank матрицы, посторенной на корд. столбцах этих векторов а1…ак в некотором базисе был =числа векторов.
Rank (A1,A2….Ak)=K
Размерность: Рассмотрим пр-во V на полем Р
Определение: Пр-во V наз-ся n-мерным, если в нем сущ-т n-лин.независимых вект-в, а всякие (n+1) в-ры будут лин.зависимы. Число n- размерность пр-ва V. Обозначение: dimV=n.
Чтобы подчеркнуть, что пр-во n-мерное, пишут Vn
Пр-во V Наз-ся бесконечномерным, если для всякого VnϵN найдется n-линейно-независимых в-в.
Теорема: Пр-во наз-ся n-мерным тогда, когда в нем существует базис из n-векторов.