3.Статически неопределимые задачи при растяжении-сжатии. Основные механические характеристики материалов. Коэффициент запаса. Допускаемые напряжени.

Задачи, в которых все реакции связей определяются из условий равновесия, называются статически определимыми. Если число неизвестных реакций связей превышает число уравнений равновесия, задача становится статически неопределимой. Степенью статической неопределимости называется разность между числом искомых неизвестных усилий и числом независимых уравнений равновесия, которые для данной системы можно составить. Для решения статически неопределимых задач к уравнениям равновесия добавляютусловия совместности деформаций, являющиеся уравнениями, связывающими между собой деформации или перемещения отдельных частей тела.

 

 

Основные механические характеристики материала Для того, чтобы оценить свойства не образца, а материала, перестраивается диаграмма растяжения P = f ((l) в координатах ( и (. Для этого уменьшим в F раз ординаты и в l раз абсциссы, где F и l - соответственно площадь поперечного сечения и рабочая длина образца до нагружения. Так как эти величины постоянны, то диаграмма ( = f (() имеет тот же вид, что и диаграмма растяжения, но будет характеризовать уже не свойства образца, а свойства материала. Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, называется пределов пропорциональности ((n). Величина предела пропорциональности зависит от той степени точности, с которой начальный участок диаграммы можно рассматривать как прямую. Степень отклонения кривой ( = f (() от прямой ( = Е( определяют по величине угла, который составляет касательная к диаграмме с осью (. В пределах закона Гука тангенс этого угла определяется величиной 1/E. Обычно считают, что если величина d(/d( оказалась на 50% больше чем 1/Е, то предел пропорциональности достигнут. Упругие свойства материала сохраняются до напряжения, называемого пределом упругости ((у) --- наибольшего напряжения, до которого материал не получает остаточных деформаций. Для того чтобы найти предел упругости, необходимо после каждой дополнительной нагрузки образец разгружать и следить, не образовалась ли остаточная деформация. Так как пластические деформации в отдельных кристаллах появляются уже в самой ранней стадии нагружения, ясно, что величина предела упругости, как и предела пропорциональности, зависит от требований точности, которые накладываются на производимые замеры. Обычно остаточную деформацию, соответствующую пределу упругости, принимают в пределах (ост= (1(5) 10-5, т. е. 0,001 ( 0,005%. Соответственно этому допуску предел упругости обозначается через (0.001 или (0.005 Следующей характеристикой является предел текучести --- напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки. В тех случаях, когда на диаграмме отсутствует явно выраженная площадка текучести, за предел текучести принимается условно величина напряжения, при котором остаточная деформация (ост = 0,002 или 0,2% (рис. 6). В некоторых случаях устанавливается предел (ост =0,5%. Рис. 6 Условный предел текучести обозначается через (0.2 и (0.5 зависимости от принятой величины допуска .на остаточную деформацию. Индекс 0,2 обычно в обозначениях предела текучести опускается. Если необходимо отличить предел текучести на растяжение от предела текучести на сжатие, то в обозначение вводится соответственно дополнительный индекс "р" или "с". Таким образом, для предела текучести получаем обозначения (тр и (ст. Предел текучести легко поддается определению и является одной из основных механических характеристик материала. Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит название предела прочности, или временного сопротивления, и обозначается через (вр ( сжатие - (вс). (вр не есть напряжение, при котором разрушается образец. Если относить растягивающую силу не к начальной площади сечения образца, а к наименьшему сечению в данный момент, можно обнаружить, что среднее напряжение в наиболее узком сечении образца перед разрывом существенно больше, чем (вр. Таким образом, предел прочности также является условной величиной. В силу удобства и простоты ее определения она прочно вошла в расчетную практику как основная сравнительная характеристика прочностных свойств материала. Рис. 7 При испытании на растяжение определяется еще одна характеристика материала - удлинение при разрыве (%. Удлинение при разрыве представляет собой величину средней остаточной деформации, которая образуется к моменту разрыва на определенной стандартной длине образца. Определение (%. производится следующим образом. Перед испытанием на поверхность образца наносится ряд рисок, делящих рабочую часть образца на равные части. После того как образец испытан и разорван, обе его части составляются по месту разрыва (рис. 7). Далее, по имеющимся на поверхности рискам от сечения разрыва вправо и влево откладываются отрезки, имевшие до испытания длину 5d (рис. 7). Таким образом определяется среднее удлинение на стандартной длине l0 = 10d. В некоторых случаях за l0 принимается длина, равная 5d. Удлинение при разрыве будет следующим: Возникающие деформации распределены по длине образца неравномерно. Если произвести обмер отрезков, расположенных между соседними рисками, можно построить эпюру остаточных удлинений, показанную на рис. 7. Наибольшее удлинение возникает в месте разрыва. Оно называется обычно истинным удлинением при разрыве. Диаграмма растяжения, построенная с учетом уменьшения площади F и местного увеличения деформации, называется истинной диаграммой растяжения (кривая OC'D' на рис. 8). Рис. 8 D' Пластичность и хрупкость. Твердость Способность материала получать большие остаточные деформации, не разрушаясь, носит название пластичности. Свойство пластичности имеет решающее значение для таких технологических операций, как штамповка, вытяжка, волочение, гибка и др. Мерой пластичности является удлинение ( при разрыве. Чем больше (, тем более пластичным считается материал. Противоположным свойству пластичности является свойство хрупкости, т. е. способность материала разрушаться без образования заметных остаточных деформаций. Материалы, обладающие этим свойством, называются хрупкими. Для таких материалов величина удлинения при разрыве не превышает 2-5%, а в ряде случаев измеряется долями процента. К хрупким материалам относятся чугун, высокоуглеродистая инструментальная сталь, стекло, кирпич, камни и др. Диаграмма растяжения хрупких материалов не имеет площадки текучести и зоны упрочнения (рис. 9). Рис. 9 По-разному ведут себя пластичные и хрупкие материалы и при испытании на сжатие. Как уже упоминалось, испытание на сжатие производится на коротких цилиндрических образцах. Для малоуглеродистой стали диаграмма сжатия образца имеет вид кривой, показанной на рис. 10. Здесь, как и для растяжения, обнаруживается площадка текучести с последующим переходом к зоне упрочнения. В дальнейшем, однако, нагрузка не падает, как при растяжении, а резко возрастает. Происходит это в результате того, что площадь поперечного сечения сжатого образца увеличивается; сам образец вследствие трения на торцах принимает бочкообразную форму (рис. 11). Довести образец пластического материала до разрушения практически не удается. Испытуемый цилиндр сжимается в тонкий диск (см. рис. 11), и дальнейшее испытание ограничивается возможностями машины. Поэтому предел прочности при сжатии для такого рода материалов найден быть не может . Рис. 10 Рис. 11 Иначе ведут себя при испытании на сжатие хрупкие материалы. Диаграмма сжатия этих материалов сохраняет качественные особенности диаграммы растяжения (см. рис. 9). Предел прочности хрупкого материала при сжатии определяется так же, как и при растяжении. Разрушение образца происходит с образованием трещин по наклонным или продольным плоскостям (рис. 12). Рис. 12 Сопоставление предела прочности хрупких материалов при растяжении (вр с пределом прочности при сжатии (вр показывает, что эти материалы обладают, как правило, более высокими прочностными показателями при сжатии, нежели при растяжении. Величина отношения для чугуна k колеблется в пределах 0,2 ( 0,4. Для керамических материалов k = 0,1 ( 0,2. Для пластичных материалов сопоставление прочностных характеристик на растяжение и сжатие ведется по пределу текучести ((тр и (тс ). Принято считать, что (тр " (тс. Существуют материалы, способные воспринимать при растяжении большие нагрузки, чем при сжатии. Это обычно материалы, имеющие волокнистую структуру, - дерево и некоторые типы пластмасс. Этим свойством обладают и некоторые металлы, например магний. Деление материалов на пластичные и хрупкие является условным не только потому, что между теми и другими не существует резкого перехода в показателе (. В зависимости от условий испытания многие хрупкие материалы способны вести себя как пластичные, а пластичные - как хрупкие. Очень большое влияние на проявление свойств пластичности и хрупкости оказывает время нагружения и температурное воздействие. При быстром нагружении более резко проявляется свойство хрупкости, а при длительном воздействии нагрузок - свойство пластичности. Например, хрупкое стекло способно при длительном воздействии нагрузки при нормальной температуре получать остаточные деформации. Пластичные же материалы, такие, как малоуглеродистая сталь, под воздействием резкой ударной нагрузки проявляют хрупкие свойства. Одной из основных технологических операций, позволяющих изменять в нужном направлении свойства материала, является термообработка.Известно, например, что закалка резко повышает прочностные характеристики стали и одновременно снижает ее пластические свойства. Для большинства широко применяемых в машиностроении материалов хорошо известны те режимы термообработки, которые обеспечивают получение необходимых механических характеристик материала. Испытание образцов на растяжение и сжатие дает объективную оценку свойств материала. В производстве, однако, для оперативного контроля над качеством изготовляемых деталей этот метод испытания представляет в ряде случаев значительные неудобства. Например, при помощи испытания на растяжение и сжатие трудно контролировать правильность термообработки готовых изделий. Поэтому на практике большей частью прибегают к сравнительной оценке свойств материала при помощи пробы на твердость. Под твердостью понимается способность материала противодействовать механическому проникновению в него посторонних тел. Понятно, что такое определение твердости повторяет, по существу, определение свойств прочности. В материале при вдавливании в него острого предмета возникают местные пластические деформации, сопровождающиеся при дальнейшем увеличении сил местным разрушением. Поэтому показатель твердости связан с показателями прочности и пластичности и зависит от конкретных условий ведения, испытания. Наиболее широкое распространение получили пробы по Бринелю и по Роквеллу. В первом случае в поверхность исследуемой детали вдавливается стальной шарик диаметром 10 мм, во втором - алмазный острый наконечник. По обмеру полученного отпечатка судят о твердости материала. Испытательная лаборатория обычно располагает составленной путем экспериментов переводной таблицей, при помощи которой можно приближенно по показателю твердости определить предел прочности материала. Таким образом, в результате пробы на твердость удается определить прочностные показатели материала, не разрушая детали.

Коэффициент запаса

Коэффициент запаса - это отношение некоторого предельного напряжения к максимальному напряжению, возникаемому в конструкции.

Максимальное напряжение в конструкции не должно превышать допускаемого напряжения для данного материала определенного с учетом коэффициента запаса для заданных условий работы.

Коэффициент запаса - число большее единицы.

Для того чтобы избежать заметных остаточных деформаций в конструкции за величину некоторого предельного напряжения принимают предел текучести, предел прочности и предел длительной прочности. Для каждой указанной характеристики материала принимают своё значение коэффициента запаса.

Для относительно небольших рабочих температур значение допускаемого напряжения определяют по пределу текучести и временному сопротивлению (до 350 градусов по Цельсию для углеродистых, легированных, кремнемарганцовистых и высокохромистых сталей, до 450 градусов по Цельсию для коррозионно-стойких сталей аустенитного класса, жаропрочных хромомолибденванадиевых сталей и железоникелевых сплавов). А при более высоких температурах, еще и по пределу длительной прочности.

Для конструкций находящихся в стадии проектирования коэффициент запаса задают заранее.

При расчете по предельной нагрузке (например расчет на устойчивость) существует понятие коэффициент запаса по предельной нагрузке (коэффициент запаса устойчивости).

Например, коэффициенты запаса по нормам расчета на прочность сосудов и аппаратов (ГОСТ Р 52857.1-2007):

для рабочих условий:

- коэффициент запаса прочности по пределу текучести - 1,5;

- коэффициент запаса прочности по временному сопротивлению - 2,4;

- коэффициент запаса по пределу длительной прочности - 1,5;

- коэффициент запаса устойчивости - 2,4;

для условий гидравлических испытаний и монтажа:

- коэффициент запаса прочности по пределу текучести - 1,1;

для условий пневматических испытаний:

- коэффициент запаса прочности по пределу текучести - 1,2.

Коэффициенты запаса по нормам расчета на прочность АЭУ:

- коэффициент запаса прочности по пределу текучести - 1,5;

- коэффициент запаса прочности по временному сопротивлению - 2,6;

- коэффициент запаса по пределу длительной прочности - 1,5.

ДОПУСКАЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Допускаемое (допустимое) напряжение – это значение напряжения, которое считается предельно приемлемым при вычислении размеров поперечного сечения элемента, рассчитываемого на заданную нагрузку. Можно говорить о допускаемых напряжениях растяжения, сжатия и сдвига. Допускаемые напряжения либо предписываются компетентной инстанцией (скажем, отделом мостов управления железной дороги), либо выбираются конструктором, хорошо знающим свойства материала и условия его применения. Допускаемым напряжением ограничивается максимальное рабочее напряжение конструкции.

При проектировании конструкций ставится цель создать конструкцию, которая, будучи надежной, в то же время была бы предельно легкой и экономной. Надежность обеспечивается тем, что каждому элементу придают такие размеры, при которых максимальное рабочее напряжение в нем будет в определенной степени меньше напряжения, вызывающего потерю прочности этим элементом. Потеря прочности не обязательно означает разрушение. Машина или строительная конструкция считается отказавшей, когда она не может удовлетворительно выполнять свою функцию. Деталь из пластичного материала, как правило, теряет прочность, когда напряжение в ней достигает предела текучести, так как при этом из-за слишком большой деформации детали машина или конструкция перестает соответствовать своему назначению. Если же деталь выполнена из хрупкого материала, то она почти не деформируется, и потеря ею прочности совпадает с ее разрушением.

Запас прочности. Разность напряжения, при котором материал теряет прочность, и допускаемого напряжения есть тот «запас прочности», который необходимо предусматривать, учитывая возможность случайной перегрузки, неточностей расчета, связанных с упрощающими предположениями и неопределенными условиями, наличия не обнаруженных (или не обнаружимых) дефектов материала и последующего снижения прочности из-за коррозии металла, гниения дерева и пр.

Коэффициент запаса. Коэффициент запаса прочности какого-либо элемента конструкции равен отношению предельной нагрузки, вызывающей потерю прочности элемента, к нагрузке, создающей допускаемое напряжение. При этом под потерей прочности понимается не только разрушение элемента, но и появление в нем остаточных деформаций. Поэтому для элемента конструкции, выполненного из пластичного материала, предельным напряжением является предел текучести. В большинстве случаев рабочие напряжения в элементах конструкции пропорциональны нагрузкам, а поэтому коэффициент запаса определяется как отношение предела прочности к допускаемому напряжению (коэффициент запаса по пределу прочности). Так, если предел прочности конструкционной стали равен 540 МПа, а допускаемое напряжение – 180 МПа, то коэффициент запаса равен 3.

4.практические расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии.

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении (сжатии)

Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием, обеспечивающим безопасную эксплуатацию конструкции, является условие прочности. Существуют различные методы обеспечения прочности конструкций. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов – расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности, составленное для опасного сечения,  можно записать в таком виде:

                                                                                                        (2.26)

где   – максимальное напряжение в конструкции;  – характеристика материала, называемая допускаемым напряжением.

Допускаемое напряжение находится по формуле

.                                                                                                                                   (2.27)

где   – предельное напряжение, при достижении которого в стержне наступает предельное состояние материала: появляются пластические деформации, если материал стержня – пластичный, или происходит разрушение, если стержень выполнен из хрупкого материала; n – нормируемый коэффициент запаса прочности.

Кроме формулы (2.26), возможен второй вариант условия прочности

,                                                                                                                                            (2.28)

где                                                                                                                  (2.29)

называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал стержня оказался в опасном (предельном) состоянии.

Условие прочности в зависимости от цели поставленной задачи позволяет выполнять расчеты на прочность двух видов: проектный и проверочный. Для спроектированного стержня можно также определять допускаемую нагрузку.

Проектный расчет выполняют с целью определения размеров поперечных сечений элемента конструкции при известных рабочих нагрузках и материале (допускаемых напряжений). Площадь поперечного сечения определяют из выражения

.                                                                                                                                            (2.30)

Форма сечения стержня не влияет на его прочность при растяжении (сжатии). Форму сечения стержня необходимо знать только для определения размеров сечения при известном значении площади.

Зная площадь сечения и его форму, находят размеры сечения.

Проверочный расчет выполняют для спроектированной конструкции с целью проверки ее прочности. При проверочном расчете должны быть известны площадь опасного сечения, нагрузка и материал (допускаемое напряжение). Проверочный расчет выполняют по формуле (2.26).

Определение допускаемой нагрузки для спроектированного элемента конструкции, размеры поперечного сечения которого и материал (допускаемые напряжения) известны. Условие прочности в этом случае записывают в виде

.                                                                                                                                          (2.31)

Зная значение  , определяют допускаемую нагрузку  .

Так как допускаемые напряжения не имеют точного значения, а выбираются приближенно, то при проверочном расчете максимальные рабочие напряжения могут превышать допускаемые на 5%. По этой же причине можно округлять полученные в расчетах значения площади опасного поперечного сечения или допускаемой нагрузки так, чтобы максимальные напряжения отличались от допускаемых не более чем на 5%. По этой же причине можно округлять полученные в расчетах значения площади опасного поперечного сечения или допускаемой нагрузки та, чтобы максимальные напряжения отличались от допускаемых не более чем на 5%.

При проектировании элементов конструкций стремятся сделать их во всех сечениях равнопрочными.

Рассмотренные три вида расчетов на прочность можно выполнять не только при растяжении или сжатии, а при любом виде деформации (сдвиге, кручении, изгибе).

При проектировании строительных конструкций расчет на прочность стальных элементов, подверженных центральному растяжению или сжатию, следует выполнять по формуле

                                                                                                                                      (2.32)

где  – коэффициент условий работы, принимаемый по СНИП (см. табл.2.1) или другим нормам.

                                                                                                                                                    Таблица 2.1

Элементы конструкции

Колонны общественных зданий и опор водонапорных башен Элементы стержневых конструкций покрытий и перекрытий: а) сжатых при расчетах на устойчивость б) растянутых в сварных конструкциях Сплошные составные балки, колонны, несущие статическую нагрузку и выполненные с помощью болтовых соединений, при расчетах на прочность Сечения прокатных и сварных элементов, несущих статическую нагрузку, при расчетах на прочность Сжатые элементы из одиночных уголков, прикрепляемые одной полкой

0,95     0,95 0,95     1,1   1,1   0,75

                                              Примечание: В случаях, не оговоренных в настоящих нормах, в формулах следует

                                                               принимать   .

 

Для хрупких строительных материалов условия прочности принимают вид:

при растяжении:  ,  ;

при сжатии:  ,                                                                                     (2.33)

где   и   – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии; n_t и n_c – нормативные коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу прочности (n_t, n_c>1).

Для центрально сжатых бетонных элементов формула (2.33) записывается в виде:

                                                                                                                                         (2.34)

где   – коэффициент, принимаемый для бетона тяжелого, мелкозернистого и легкого равным 1,00; для ячеистого автоклавного – 0,85; для ячеистого неавтоклавного – 0,75.

В некоторых случаях работоспособность элемента конструкции определяется не только его прочностью, но и жесткостью, т.е. способностью элемента воспринимать нагрузки без недопустимых упругих деформаций. При расчетах на жесткость определяют максимальные перемещения сечений и сопоставляют их с допускаемыми перемещениями.

Условие жесткости, ограничивающее изменение длины элемента, имеет сле­дующий общий вид:

,

где   - изменение размеров детали;

 - допускаемая величина этого изме­нения.

Учитывая, что при растяжении (сжатии) абсолютное удлинение в общем виде определяется как алгебраическая сумма величин    по участкам

,                                                                                                                                        (2.35)

условие жесткости при растяжении (сжатии) запишем следующим образом:

.                                                                                                                         (2.36)

Так как перемещение, согласно закону Гука, зависит от нагрузки и размеров поперечного сечения, условие жесткости позволяет решать те же три вида задач, что и условие прочности.