Условные и совместные вероятности

Условные вероятности применяются в исследованиях, где в качестве меры различия объектов (стимулов, событий) хи у выступает вероятность того, что объект х не встречается при наличии объекта у. Типичные исследования подобного рода — эксперименты по узнаванию и эксперименты по переходу. В первом случае исследователь предъявляет N стимулов и просит испытуемого каждый раз назвать, какой из N ему был предъявлен. Эксперимент повторяется многократно. По результатам исследования заполняется таблица NxN, строки которой — стимулы, столбцы — ответы. В случае совпадения стимула и ответа к содержимому соответствующей ячейки прибавляется 0, в противном случае — 1. Затем содержимое каждой ячейки делится на количество экспериментов. При таком анализе предполагается, что чем более похожи стимулы, тем чаще они будут путаться. Такие матрицы несимметричны, но приводятся к симметричному виду путем сложения строк и столбцов с одинаковыми номерами. Иначе говоря, исходная матрица складывается с транспонированной.

Аналогичным образом обрабатываются данные в экспериментах по переходу. Строки в матрице NxN при этом — состояния в начале процесса, столбцы — при окончании (например, профессиональная ориентация до обучения и после). Предполагается, что чем ближе состояния, тем чаще будет переход из одного состояния в другое.

Меры различия профилей для количественных переменных

Профиль — это набор оценок (количественных признаков) объекта. Если объекты — это испытуемые, то профилем могут быть их оценки по каким-либо тестам. Сравниваемыми объектами могут быть и сами признаки, и объекты, оцениваемые испытуемыми, например, по степени предпочтения. Тогда профилем будет совокупность индивидуальных значений соответственно для признака или оцениваемого объекта. Таким образом, меры различия профилей могут применяться к наиболее типичным психологическим данным — типа «объект-признак».

Меры взаимосвязи — самые распространенные и очевидные показатели различия в социальных науках, в том числе в психологии. Иногда, например, в программе STATISTICA, в качестве меры различия используется величина 1 - г (где г — коэффициент корреляции Пирсона). Чем более сходна форма профилей оценок для двух объектов или чем более согласованы изменения индивидуальных оценок для двух признаков, тем более они похожи (выше коэффициент корреляции), а указанная мера различия — ближе к нулю. Следует отметить важную особенность использования коэффициента корреляции в качестве меры различия. Если существует сильная взаимосвязь двух признаков, но она отрицательна (отрицательный коэффициент корреляции), то при анализе эти признаки будут трактоваться как сильно различающиеся. Но если поменять знак одной из переменных, они станут очень близки. Таким образом, коэффициенты корреляции могут являться адекватной мерой различия (близости) только в том случае, если все они положительны (или взяты по абсолютной величине — без учета знака).

Меры расстояния — наиболее специфичные показатели различия именно для профилей, то есть множества ^признаков, измеренных для каждого объекта. Различие между двумя объектами, выраженное мерой расстояния, показывает, насколько в среднем различаются совокупности оценок для двух объектов, или насколько в среднем удалены друг от друга профили оценок. Другая трактовка меры расстояния — геометрическая. Это расстояние между двумя точками (объектами) в пространстве, размерность которого равна числу признаков. Значения признаков для объекта трактуются как координаты, задающие его положение в этом пространстве.

Есть два способа задания расстояний, и выбор способа зависит от задачи исследования. Обычно исследователь имеет таблицу (матрицу) данных NxP, где N — строки (испытуемые, объекты), Р — столбцы (признаки, оцениваемые объекты). Если исследователя интересуют различия между объектами или испытуемыми (с точки зрения, например, их классификации), то ему необходимо задавать меры различия (расстояния) между строками. Если же ему важны основания классификации признаков, то выбираются меры различия (расстояния) между столбцами.

Существует множество мер расстояния, но наиболее часто используются две: евклидово (или его квадрат) и «метрика города».

Евклидово расстояние легко представить себе как кратчайшее расстояние (по прямой) между двумя точками (объектами) в пространстве двух, трех и более координат — в соответствии с числом признаков. Наиболее подходит эта метрика для метрических данных (в шкале интервалов или отношений). Если число признаков Р, то евклидово расстояние между объектами с номерами i и j выражается формулой:

где xip и xjp — значения признака р для объектов с номерами / и j соответственно. В пространственном представлении эти значения трактуются как координаты объектов i и j по оси р.

«Метрика города» (синонимы — «Манхаттан», «городских кварталов» или city-block) — получила свое название по аналогии с длиной пути движущегося от одного объекта к другому в городе. Пешеход вынужден обходить кварталы домов по ломаной линии. Каждый «квартал» при этом — это абсолютная разность между значениями двух объектов по одному из признаков. «Метрика города» больше подходит для неметрических данных (порядковых и, отчасти, бинарных) и вычисляется по формуле

Важное замечание относительно мер расстояния касается разного масштаба оценок (переменных). Если переменные представлены в разных шкалах, имеют разный масштаб (средние и стандартные отклонения о), то на расстояние больше будут влиять переменные, имеющие больший разброс (дисперсию). Чтобы уравнять влияние переменных на расстояние между объектами, целесообразно до вычисления расстояний нормировать переменные (делить на стандартное отклонение) или преобразовать их в ^-оценки.

Заключая обзор мер различия, следует отметить одно обстоятельство. Наиболее частый вид данных в психологии — это множество признаков, измеренных у множества испытуемых. И наиболее вероятно, что исследователь предпочтет, выбирая многомерное шкалирование или кластерный анализ, опираться на меры различия профилей. В этой ситуации исследователь должен отдавать себе отчет в том, что получаемые показатели различия между объектами не несут никакой иной информации, кроме констатации того, что субъект Л по измеренным признакам более похож на субъекта В, чем на субъекта С. А информация о том, по каким признакам различия больше, а по каким — меньше, утрачивается при вычислении расстояний. Таким образом, одни и те же значения различий между парами объектов могут быть обусловлены разницей в значениях по разным признакам. Это обстоятельство сильно затрудняет интерпретацию мер расстояния. Иначе дело обстоит, если меры различия профилей используются в отношении данных о субъективных предпочтениях, когда вычисляются меры различия между объектами предпочтения по множеству субъективных оценок (между столбцами — оцениваемыми объектами). Здесь интерпретация достаточно очевидна: объекты будут тем ближе, чем ближе в среднем их располагают субъекты при упорядочивании по степени предпочтения. Вообще говоря, если у исследователя есть выбор при планировании инструментария, для классификации объектов следует предпочесть непосредственные оценки различия, данные о предпочтениях или условные и совместные вероятности.