Тест по курсу «геометрия-топология»

2 Семестр, отд. МоАис

А 1. Декартовым произведением двух непустых множеств А и В называется

1. множество всех упорядоченных пар (х, у), где х, у  АВ

2. множество всех упорядоченных пар (х, у), где х, у  АВ

3. множество всех упорядоченных пар (х, у), где х  А, у  В

4. множество пар (х, у), где х  А, у  В

5. другое определение

А 2. Пусть заданы прямоугольник  и отрезок [A, B]. Что задает декартово произведение: [A, B]?

1. плоскость 2. параллелепипед 3. цилиндрическую поверхность 4. сферу 5. шар.

А 3. Метрикой  пространства Х называется

1. отображение : Х  Х  R, удовлетворяющее следующим аксиомам: а)  х, у  Х |  (х, у)  0 в)  х, у  Х |  (х, у) =  (у, х)

с)  х, у, z  Х |  (х, у) +  (у, z)   (х, z)

2. отображение : Х  Х  R, удовлетворяющее следующим аксиомам: а)  х, у  Х |  (х, у)  0, причем  (х, у) = 0  х = у

в)  х, у, z  Х |  (х, у) +  (у, z)   (х, z)

3. отображение : Х  Х  R, удовлетворяющее следующим аксиомам: а)  х, у  Х |  (х, у)  0, причем  (х, у) = 0  х = у

в)  х, у  Х |  (х, у) =  (у, х)

4. отображение : Х  Х  R, удовлетворяющее следующим аксиомам:

а). х, у  Х |  (х, у)  0, причем  (х, у) = 0  х = у

в).  х, у  Х |  (х, у) =  (у, х)

с).  х, у, z  Х |  (х, у) +  (у, z)   (х, z)

5. другое определение

А 4. Указать, какая функция (х, у) , заданная на числовой прямой R, является метрикой на R

1. (х, у) = х – у 2. (х, у) = (х – у)² 3. (х, у) =| х – у|

4. (х, у) = х² – у² 5. (х, у) = | 2х – у|

А 5. Семейство Ф называется топологией или топологической структурой заданной на непустом множестве Х, если

1. а) само множество Х и пустое множество  принадлежат Ф

в) объединение любых двух множеств из Ф также принадлежит Ф

с) пересечение любого семейства множеств из Ф также принадлежит Ф

2. а) само множество Х и пустое множество  принадлежат Ф

в) объединение любого конечного числа множеств из Ф также принадлежит Ф

с) пересечение любых двух множеств из Ф также принадлежит Ф

3. а) само множество Х и пустое множество  принадлежат Ф

в) объединение любого семейства множеств из Ф также принадлежит Ф

с) пересечение любого семейства множеств из Ф также принадлежит Ф

4. а) само множество Х и пустое множество  принадлежат Ф

в) объединение любого семейства множеств из Ф также принадлежит Ф

с) пересечение любых двух множеств из Ф также принадлежит Ф

5. другое определение

А 6. Множество G топологического пространства (Х, Ф). называется открытым множеством, если

1. G – подмножество Х 2. G – подпространство топологического пространства (Х, Ф) 3. G – элемент множества Ф 4. G – непустое множество 5. другое определение

А 7. Множество Н топологического пространства (Х, Ф) называется замкнутым множеством, если

1. Н – подмножество Х 2. Н – подпространство топологического пространства (Х, Ф) 3. Н – элемент множества Ф 4. Н – непустое множество 5. Н = С _ХG, где G – элемент множества Ф

А 8. Пусть Х . Будет ли Ф = {G_}, где G_ – подмножества из Х, топологией?

1. Ф = { , одна точка х  Х} 2. Ф = { , X, две точки х, у  Х}

3. Ф = { , X, две точки х, у  Х, пара (х,у)} 4. Ф = { любое подмножество Х} 5. Ф = { , Х, одна точка х  Х}

А 9. Точка х называется внешней точкой множества H в топологическом пространстве (Х, Ф),

1. если любая окрестность точки х содержится в H

2. если существует такая окрестность V точки х, в которой нет точек из H, то есть V  С_х H = Х \ H

3. если в любой окрестности точки х имеются как точки множества H так и точки не принадлежащие H

4. если существует такая окрестность U точки х, что U  H

5. если любая окрестность точки х содержится в С_Х H

А 10. Точка х называется граничной точкой множества H в топологическом пространстве (Х, Ф),

1. если любая окрестность точки х содержится в H

2. если существует такая окрестность V точки х, в которой нет точек из H, то есть V  С_х H = Х \ H

3. если в любой окрестности точки х имеются как точки множества H, так и точки не принадлежащие H

4. если существует такая окрестность U точки х, что U  H

5. если любая окрестность точки х содержится в С_Х H

А 11. Множество всех внешних точек множества H обозначается

1. int H 2. ext H 3.  H 4. 5. С_Х H

А 12. Точка называется точкой прикосновения множества H, если

1. существует окрестность U точки , такая, что U  H =  

2. в каждой окрестности точки  H существуют точки множества H, отличные от

3. каждая окрестность точки имеет с H хотя бы одну общую точку

4. существует окрестность точки , которая имеет с H хотя бы одну общую точку

5. другое определение

А 13 Если замкнутое множество F содержит множество H, то

1. F содержит ext 2. F содержит предельные точки множества Н

3. F содержит intС_Х Н 4. F содержит 5. F содержит С_х(C_x H)

А 14. Какие равенства справедливы?

1. Int H  ext H  H=  2. Int H  H = Int H  ext H

3. ext H Int С_Х H =  4. Int H  H = ext H 5. Int H ext H  H= Х

А 15. Какие из данных множеств топологического пространства (Х, Ф) являются открытыми (Н  Х)?

1. Int H  ext H 2. Int H \ H 3. H 4. Int H  H 5. .

А 16. Топологическое пространство (Х, Ф) называется Хаусдорфовым, если:

1. сходящаяся последовательность точек х_n имеет единственный предел 2. для любых двух множеств существуют их непересекающиеся окрестности 3. для любых двух различных точек пространства существуют их непересекающиеся окрестности 4. существует семейство U = А_ открытых множеств А_  (Х, Ф) таких, что Х  5. другое определение.

А17. Топологическое пространство (Х, Ф) называется компактным, если

1. существует семейство U = А_ открытых множеств А_  (Х,Ф) таких, что Х 

2. из его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие

3. из любого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие

4. другое определение

5. если из любого его конечного покрытия можно выбрать подпокрытие

А 18. Топологическое пространство (Х, Ф) называется несвязным, если

1. его замыкание является связным множеством

2. существуют два непустых открытых множества U и V таких, что

U  V = Х и U  V = 

3. у него нет изолированных точек

4. может быть разбито на два непустых множества, не имеющих между собой общих точек

5. другое определение

А 19. Пусть даны топологические пространства (Х, Ф), (У, W) и отображение : X  У

Отображение : X  У называется непрерывным в точке х₀  Х, если

1. для каждой окрестности U точки х₀ существует такая окрестность V точки (x₀), что (U) . V

2. для каждой окрестности V точки f(x₀) существует такая окрестность U точки х₀, что ^-1(V)  U

3. для каждой окрестности V точки (x₀) существует такая окрестность U точки х₀, что (U)  V

4. : X  У непрерывно в каждой точке пространства Х

5. полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества будет открытым (замкнутым) множеством

А 20. Пусть даны топологические пространства (Х, Ф), (У, W) .

Отображение : X  У называется гомеоморфизмом, если

1. – биекция и, при этом, отображения непрерывно

2. – биекция и, при этом, отображение ^--1 – непрерывно

3. – биекция и, при этом, отображения и ^--1 – непрерывны

4. – сюръекция и, при этом, отображения непрерывно

5. другое определение

А 21. Укажите гомеоморфные пары топологических пространств.

1. любые два интервала (а, b) и (c, d), заданные на числовой прямой, с топологией порожденной метрикойы топологических пространств гомеоморфны

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

2. U = U / 0  U  2 П и S = S (0, 1) – окружность радиуса 1 с центром в начале координат

3. любые два промежутка [а, b) и (c, d], заданные на числовой прямой, с топологией порожденной метрикойы топологических пространств гомеоморфны

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

4.поверхности куба и тора, заданные в трехмерном пространстве с топологией, порожденной метрикой

5. сфера и поверхность куба, заданные в трехмерном пространстве с топологией, порожденной метрикой

А 22. Вычислить эйлерову характеристику сферы с двумя дырками, заклеенными листами Мебиуса и тремя дырками, заклеенными ручками

1. – 7 2. – 6 3. – 5 4. 5 5. 4

А 23. Укажите неориентируемые двумерные многообразия.

1. сфера с дыркой, заклеенной листом Мёбиуса

2. сфера с дыркой, заклеенной ручкой

3. сфера с тремя дырками, две из которых заклеены листами Мёбиуса, а одна ручкой

4. тор с тремя дырками, две из которых заклеены ручками, а одна листом Мёбиуса

5. сфера с двумя дырками

А 24. На числовой прямой с топологией заданной метрикой имеем подмножество Н = {x| x (– ; –3)xQ}(–3; 2]{3;4;5;}[5; 11).

Найти H

1. (– , – 3]  {2,3,4,5,11} 2. [– 3,2]  {3,4,5,11} 3. (– , – 3]

4. {3,4,5} 5. {– 3, 2}

№	Номера заданий
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Отв.	3	2	4	3	4	3	5	345	2	3	2	3
№	Номера заданий
	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Отв.	245	25	12	3	3	2	3	3	15	2	134	1