Аксиома отделимости

Наличие хороших свойств пространства зависит от возможности отделить одну точку от другой с помощью окрестностей этих точек.

Поэтому, обычно, рассматривают такие топологические пространства, которые удовлетворяют дополнительным условиям, например, так называемым аксиомам отделимости.

Аксиома Хаусдорфа

Для любых двух различных точек пространства существуют их непересекающиеся окрестности.

Топологические пространства, в которых выполняется аксиома Хаусдорфа, называют хаусдорфовыми пространствами.

Нетрудно доказать, что любое подпространство хаусдорфова пространства, содержащее не менее двух различных точек, также является хаусдорфовым пространством.

В любом топологическом пространстве можно рассмотреть сходящуюся последовательность точек.

Однако, понятие предела удобно лишь там, где сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Оказывается, аксиома 2 является необходимым и достаточным условием единственности предела сходящейся последовательности.

Пусть в топологическом пространстве (Х, Ф) дана последовательность точек х₁, х₂, …, х_n, … точка х₀ называется пределом этой последовательности, если для любой окрестности U_x0 точки х₀ найдётся такой номер n₀, что для всех n  n₀ точки х_n  U_x0 .

При этом последовательность точек х_n называется сходящейся к точке х₀ .

Теорема 2. В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф) сходящаяся последовательность точек х_n имеет единственный предел.

Доказательство. Допустим, что последовательность точек х_n имеет два различных предела х₀ и у₀ . В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф) две различные точки имеют непересекающиеся окрестности U и V. По определению предела все члены последовательности точек х_n , начиная с некоторого номера, должны лежать в U и в V, что невозможно, так как

U  V = .

Полученное противоречие доказывает теорему.

Пример 1. В силу теоремы 2 § 1 любое топологическое пространство, топология которого порождена метрикой, является хаусдорфовым пространством.

Пример 2. Двуточечное топологическое пространство

Х = , Ф = {, Х, }

не является хаусдорфовым пространством.

Действительно, рассмотрим точки и . Для них нет непересекающихся окрестностей, так как окрестностью точки является сама точка или все Х, а окрестностью точки будет только Х.

Очевидно,  Х = и предложение доказано.

Пример 3. Рассмотрим концентрическое топологическое пространство (Х, Ф_к). Докажем, что оно не является хаусдорфовым пространством.

Действительно, выберем произвольно две различные точки А и В. Любые окрестности этих точек будут открытыми шарами с центом в точке О. Следовательно, любые окрестности точек А и В пересекаются.

Хаусдорфовым пространством является любое дискретное топологическое пространство, содержащее, по крайней мере, две различные точки. Действительно, любые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности, так как этими окрестностями являются сами эти точки.

§ 5. Компактность топологических пространств. Связность топологических пространств

Определение 1. Пусть (Х, Ф) - топологическое пространство и множество Н  Х. Семейство U = А_ открытых множеств А_ называется открытым покрытием множества Н, если

Н  .

Подпокрытие покрытия U – это такое подсемейство семейства U , которое само является покрытием для Н.

Определение 2. Топологическое пространство Х называется компактным или компактом, если из любого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение 3. Множество М в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно является компактным топологическим пространством относительно индуцированной топологии (как подпространство).

Пользоваться этим определением компактности множества не очень удобно, так как оно требует построения в множестве с индуцированной топологией. Следующая теорема дает нам возможность обходиться без этих дополнительных построений.

Теорема 1. Для того, чтобы множество М в топологическом пространстве Х было компактно, необходимо и достаточно, чтобы из любого открытого покрытия множества М в Х можно было выделить конечное подпокрытие.

Доказательство.

Необходимость. Пусть М – компактно в (Х, Ф). Возьмём любое его покрытие m =  G_, где G_  Ф. Тогда

m =  G_  M, G_  m 

будет открытым покрытием М в смысле индуцированной топологии. Выбирая из m конечное подпокрытие, получаем из соответствующих ему множеств в m искомое конечное подпокрытие.

Достаточность. Пусть m =  G_ - произвольное открытое покрытие множества М. Тогда m =  G_  M  также является открытым покрытием в смысле индуцированной топологии.

По условию из m можно выбрать конечное подпокрытие для М, а последнее даёт подпокрытие для М из m. Из определения компактности множества следует, что М – компактно.

Теорема 2. Если топологическое пространство (Х, Ф) компактно, а множество F  X – замкнуто, то F – компактно.

Доказательство. Пусть U – произвольное открытое покрытие F. Добавим к U открытое множество (Х \ F).

Тогда система U, (X \ F) - открытое покрытие Х.

Так как Х – компактно, то из полученного выше покрытия выбираем конечное покрытие Х.

Обозначим его U₁. Если U₁ содержит X \ F, то удалив из U₁ множество X \ F, получим покрытие, причём конечное, для F. Если U₁ не содержит X \ F, то U₁ и является конечным покрытием F.

В силу теоремы 1 множество F – компактно.

Теорема доказана.

Теорема 3. В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф) у любых двух компактных непересекающихся множеств имеются непересекающиеся окрестности.

Доказательство. Пусть А , В - непересекающиеся компактные множества пространства (Х,Ф). Рассмотрим случай, когда В – точка. Тогда фиксируем для каждой точки х  А и точки В непересекающиеся окрестности U_x и V_x, соответственно. Выделяем из полученного покрытия множества А окрестностями U _x конечное покрытие и оставляем соответствующие им окрестности для точки В:

Тогда множества

и

будут непересекающимися окрестностями множества А и точки В.

В общем случае мы рассматриваем для каждой точки х  В непересекающиеся окрестности множества А – U _x и точки х – V _x и выделяем из полученного покрытия множества В окрестностями V _x конечное покрытие

.

Множества

и

будут непересекающимися окрестностями множеств А и В.

Теорема 4. Компактное подмножество М хаусдорфова пространства (Х, Ф) замкнуто.

Доказательство. Действительно, в силу теореме 3 любая точка, не принадлежащая компактному множеству, обладает окрестностью, не пересекающейся с этим множеством, то есть всякая точка не принадлежащая компактному множеству в хаусдорфовом пространстве является для него внешней.

Следовательно, М содержит все свои внутренние и граничные точки, то есть М – замкнуто.

Теорема 5. Подмножество в пространстве R³ компактно в том и только том случае, если оно ограничено и замкнуто.

Доказательство. М – ограниченное подмножество R³, то есть оно лежит внутри некоторого шара или куба.

Пусть М – компактно и х₀  М, U (x₀, r _n) – шары концентрические с центром в точке х₀ и радиусом r _n

Так как

U(x₀, r _n), r _n  

покрытие для М, то можно выбрать конечное подпокрытие, то есть конечную последовательность r₁, r₂,…, r _k и тогда М  U (x₀, r _k), то есть М – ограниченное.

Так как R³ – хаусдорфово пространство, то согласно теореме 4 М – замкнутое множество.

2) Докажем достаточность. По теореме 2 достаточно показать, что кубы пространства R³ –компактны.

Куб пространства R³ очевидным образом делится на 2³ кубов вдвое меньших размеров, и если некоторое покрытие W исходного куба открытыми множествами пространства R³ не содержит конечного подпокрытия, то тем же свойством оно будет обладать и как покрытие одного из меньших кубов. Повторяя это рассуждение, мы построим убывающую последовательность кубов Q₁, Q₂,… ,каждый из которых вдвое больших размеров следующего и ни один из которых не покрывается конечным набором множеств из W.

Однако, общая точка этих кубов покрывается некоторым множеством из W, а с ней покрываются этим множеством и кубы Q _n c достаточно большим n.

Полученное противоречие доказывает нашу теорему.

Пример 1. Доказать, что в евклидовом пространстве с естественной топологией (Е³, Ф_ ) множество Н состоящее из конечного числа точек компактно.

Доказательство. Пусть Н = { х₁, х₂, …, х_n } и { G_}_А - произвольное открытое покрытие множества Н. По определению покрытия каждая точка х_i принадлежит хотя бы одному из множеств G_. Обозначим G₁ одно из множеств множества { G_}_А содержащее х₁. Затем обозначим G₂ одно из множеств множества { G_}_А содержащее х₂ и так далее, для точки х_n обозначим G_n одно из множеств множества { G_}_А содержащее х_n.

Получили конечный набор открытых множеств G₁, G₂, …, G_n являющийся покрытием множества Н. Согласно теореме 1 множество Н будет компактным множеством.

Пример 2. Доказать, что топологическое пространство (Н, Ф_д ), где Н бесконечное множество с дискретной топологией, не компактно.

Доказательство. Для данного топологического пространства можно рассмотреть конкретное открытое покрытие самими точками этого пространства. Но тогда из этого покрытия нельзя выбросить даже одного открытого множества, так как соответствующая точка будет не покрыта. Поэтому из рассматриваемого открытого покрытия нельзя выбрать конечного подпокрытия. Поэтому топологическое пространство (Н, Ф_д ) не компактно.

Пример 3. Пусть (Х, Ф_к) концентрическое топологическое пространство (см. § 2, пример 4 ). Доказать, что (Х, Ф_к) некомпактное топологическое пространство, но любое ограниченное замкнутое множество Н этого пространства является компактным подмножеством.

Доказательство. Пусть { G_}_А - произвольное открытое покрытие множества Н. По определению топологии каждое G_ есть открытый шар с центром в точке О. Следовательно, мы имеем множество вложенных друг в друга открытых шаров, радиусы которых возрастают неограниченно: r₁, r₂, …, r_, … . Предположим, что нам удалось выбрать конечное подпокрытие G₁, G₂, …, G_к из покрытия { G_}_А. При этом мы вполне можем считать, что G₁ G₂  …  G_к . Тогда соответствующие радиусы этих шаров удовлетворяют неравенствам : r₁  r₂  …  r_к . Но открытый шар любого конечного радиуса не покрывает все пространство. Следовательно, предположение неверно.

Докажем вторую часть задачи. Пусть Н ограниченное замкнутое множество в (Х, Ф_к). Обозначим

r_х = | Ох |, где х  Н, r₀ = .

Предположим, что мы имеем произвольное открытое покрытие { G_}_А множества Н. Как и в первой части задачи мы имеем множество вложенных друг в друга открытых шаров, радиусы которых возрастают неограниченно: r₁, r₂, …, r_, … . Рассмотрим все радиусы r_  r₀. Обозначим наименьший радиус. Тогда  r₀ и открытый шар из покрытия { G_}_А одновременно будет представлять конечное покрытие Н. Согласно теореме 1 множество Н будет компактным множеством.