1.4. Представление информации в компьютере. Системы счисления

Системы счисления – это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. Системы счисления подразделяются на два основных класса: непозиционные и позиционные. Если числовое значение символа не зависит от позиции в записи числа, то система называется непозиционной, в противном случае – позиционной. Пример непозиционной системы счисления – римская система счисления, десятичная система является позиционной.

Позиционные системы счисления характеризуются основанием системы счисления (q), под которым понимается количество различных символов (цифр), используемых для изображения числа в данной системе счисления (табл. 1.1). Например, в десятичной системе счисления их 10 (0, 1. 2,…9), следовательно, основание ее равно десяти (q=10). Запись чисел в любой из систем счисления с основанием q имеет вид выражения

A _n-1 * q ^n-1 + A _n-2 * q ^n-2 +…+ A ₁ * q ¹ + A ₀ * q ⁰ + + A _-1 *q ^-1 +…+ A _–m * q ^–m ,

где A _i – цифры (символы) системы счисления; n , m – число разрядов в целой и дробной части числа, соответственно.

Кроме десятичной системы счисления широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

• двоичная (используются цифры 0, 1);

• восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

• шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих – от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Таблица 1.1. Запись чисел в системах счисления (q=10,2,8,16)

10-я	2-я	8-я	16-я	10-я	2-я	8-я	16-я
0	0	0	0	10	1010	12	A
1	1	1	1	11	1011	13	B
2	10	2	2	12	1100	14	C
3	11	3	3	13	1101	15	D
4	100	4	4	14	1110	16	E
5	101	5	5	15	1111	17	F
6	110	6	6	16	10000	20	10
7	111	7	7	17	10001	21	11
8	1000	10	8	18	10010	22	12
9	1001	11	9	19	10011	23	13

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тремя цифрами) или тетрадой (четырьмя цифрами). Например,

• 537,1₈=101 011 111, 001₂

• 1A3,F₁₆= 0001 1010 0011, 1111₂

Для перевода целого числа N с основанием q1 в систему счисления с другим основанием q2 необходимо число N делить на значение q2, записанное в исходной системе счисления и по правилам исходной системы счисления, до тех пор, пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных в символах новой системы и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

Для примера рассмотрим перевод из десятичной системы в двоичную (q=2), восьмеричную (q=8) и шестнадцатеричную (q=16) системы счисления. Воспользуемся изложенным правилом. Тогда для перевода целого десятичного числа N (q=10) в систему счисления с другим основанием q необходимо число N делить на значение q, записанное в десятичной системе, до тех пор, пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

На рис. 1.1. приводятся три примера перевода чисел из десятичной системы в двоичную ( q=2), в восьмеричную (q =8) и шестнадцатеричную (q =16): 75₁₀=1001011_{2 .}

Для перевода правильной десятичной дpоби F в систему счисления

с основанием q необходимо F умножить на q , записанное в десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дробная часть очередного пpоизведения не станет pавной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной системе (рис. 1.2.). Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q -(k+1) / 2.

75₁₀ =113₈ ; 75₁₀ =4B₁₆

Рис. 1.1. Примеры перевода целого числа из десятичной с.с.

Рис. 1.2. Перевод дроби из десятичной с.с.в другие с.с.

Перевод из двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной (или любой другой q-ичной) системы счисления в десятичную.

Перевод в десятичную систему числа Х, записанного в q-ичной системе счисления (q = 2, 8,16…) в виде

X _q = A _n A _n-1 ... А ₀ , А _-1 А _-2 ... А _–m ,

где A _n ,… А ₀ , А _-1 ,... А _–m – символы q-ичной системы

сводится к вычислению значения многочлена по правилам десятичной арифметики:

X₁₀ = А_n * q^n + А_n-1 * q^(n-1) + ... +А _о * q^0 + А_-1 * q^( -1) + A_-2 * q^(-2) + ... +А _-m * q^(-m)