2. Основы термодинамики

Задача 7. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К.

Дано: т = 2 кг Т = 400 К М = 2·10 ^–3кг/моль	Решение: Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода – двухатомная. Связь между атомами считаем жесткой, тогда
<Eпост> - ? <Eвр> - ?

число степеней свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия:Поступательному движению приписывается три (i = 3), а вращательному две (i= 2) степени свободы. Тогда энергия одной молекулы:

, .

Число молекул, содержащихся в массе газа m: , где ν – число молей, N_A – число Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода будет: , (1)

где R = kN_A – молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода: . (2)

Подставляя числовые значения и формулы (1) и (2), имеем:

Ответ: 4986 кДж, 3324 кДж.

Задача 8. При адиабатическом сжатии давление воздуха было увеличено от Р₁ = 100 кПа до Р₂ = 1 МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление Р₃ газа в конце процесса.

Дано: Р1 =100 кПа=1·10^5 Па Р2 = 1 МПа =1·10^6 Па V2 = const = 1,4 Р3 – ?

Решение: На PV диаграмме представлен график, соответствующий процессу, указанному в условии задачи.

Процесс адиабатического сжатия 1-2 совершается без теплообмена и согласно уравнению Пуассона:

(1)

Макроскопические параметры P, V, T воздуха в состоянии 1, 2, 3 связаны соотношением:

,

откуда P₁V₁ = P₃V₃.

По условию задачи V₂ = V₃. Используя уравнение (1) можно записать

.

Тогда

Ответ:

Задача 9. Вычислить массу столба воздуха высотой 1 км и сечением 1 м², если плотность воздуха у поверхности Земли а давлениеР₀ = 1,013 ∙ 10⁵ Па. Температуру воздуха считать одинаковой.

Дано: h = 1 км = 1000 м S = 1 м^2 Т = const Р0=1,013 ∙ 10^5 Па = 1,2 кг/м^3	Решение: Атмосферное давление меняется с высотой, плотность воздуха также является функцией высоты . Массу воздуха в элементе объемаdV представим в виде: dm = . Найдем изменение плотности воздуха с высотой.
m – ?	Согласно уравнению состояния идеального газа

. (1)

Продифференцировав (1), получим (2)

С другой стороны убыль давления dP при переходе от высоты h₀ к высоте h₀ + dh

(3)

где – плотность воздуха на высоте h.

Используя уравнения (2) и (3) получим:

или

Вычислим массу столба воздуха

Подставив данные, приведенные в условии задачи получим:

m = 1,13 · 10³ кг.

Ответ: m = 1,13 · 10³ кг.

Задача 10. Определить скорость вылета поршня массой 4 кг из цилиндра при адиабатном расширении кислорода в 40 раз, если начальное давление воздуха 10⁷ Па, а объем 0,3 л.

Дано: Т = 4 кг V2/V1 = 40 p1 = 10 ^7Па V1 = 0,3 л = 3·10^-4м^3	Решение: Работа А, совершаемая адиабатически расширяющимся воздухом, в данном случае идет на увеличение кинетической энергии поршня, т. е
υ - ?

,

где т и υ – масса и скорость поршня.

Для подсчета работы адиабатически расширяющегося газа воспользуемся формулой: , где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для кислорода γ =1,4).

Так как ,то ,

Ответ: 54 м/с.

Задача 11. Молекулярный пучок кислорода ударяется о неподвижную стенку. После соударения молекулы отражаются от стенки с той же по модулю скоростью. Определить давление пучка на стенку, если скорость молекул 500 м/с и концентрация молекул в пучке 5·10 ²⁴  м ^-3.

Дано: υ = 500 м/с n0 = 5·10 ^24м ^–3	Решение: Давление определяется по формуле: , (1)
р - ?

где F – сила давления, S – площадь.

Силу давления найдем из второго закона Ньютона:

, (2)

где m – масса кислорода, ударившегося о стенку за время t, Δυ – изменение скорости молекул при ударе.

Массу одной молекулы кислорода найдем из закона Авогадро:, гдеМ = 32·10²³ кг/моль – молярная масса кислорода; N_A =– постоянная Авогадро.

За время t о стенку ударяются молекулы, находящиеся в объеме: , масса которых:. (3)

Изменение скорости при соударении:. (4)

Подставляя выражения (3), (4) в (2), находим: , откуда,.

Ответ: 1,33·10⁵ Па.

Задача 12. Определить удельные теплоемкости с_р, с_v, для смеси 1 кг азота и 1 кг гелия.

Дано: m1= 1 кг М1= 28кг/кмоль i1 = 5 m2 = 1 кг М2= 4 кг/кмоль газа. i2 = 3	Решение: Удельной теплоемкостью какого – либо газа называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить единице массы тела, чтобы повысить его температуру на 1 градус. При этом величина теплоемкости зависит от условий, при которых
ср - ? сv - ?

происходит нагревание. Если нагревание происходит при постоянном объеме, то: , где, т.е. все сообщаемое количество теплоты идет на изменение внутренней энергии системы. Изменение внутренней энергии смеси газа определяется формулой:, гдеi₁ и i₂ – число степеней свободы первого и второго газов.

Окончательно получим: . (1)

Если нагревание происходит при постоянном давлении, то

, (2)

где , т.е. сообщаемое газу количество теплоты идет не только на изменение внутренней энергии, но и на работу по расширению газа. Работа при изобарическом расширении для каждого газа равна:;, поэтому:

.

Подставляя это значение в уравнение (2), получим:

.

Произведем вычисления:

Ответ: .

Задача 13. В цилиндре под поршнем находится водород, который имеет массу 0,02 кг и начальную температуру 27°С. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершаемую газом. Изобразить процесс графически.

Дано: m = 0,02 кг Т1 = 27°С = 300 К М = 2 кг/кмоль i = 5	Решение: При адиабатном процессе температура и объем газа связаны соотношением: , где– отношение теплоемкостей газа при
T2 - ? А - ?

постоянном давлении и постоянном объеме. Для водорода γ = 1,4.

Отсюда выражение для конечной температуры Т₂ будет:

.

Работа А₁ газа при адиабатическом расширении равна изменению внутренней энергии:

.

(Дж).

Работа А₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде:

(Дж).

Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть равенства, и выполняя арифметические действия, находим: .

Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами. Полная работа, совершенная газом при описанных процессах, равна:

(Дж).

.

График процесса приведен на рисунке 1.

Ответ: 8,7 · 10³ Дж.

Задача 14. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V₁ = 1 м³ и находится под давлением р₁ = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂ = 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления р₃ = 0,5 МПа. Найти изменение ΔU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и количество теплоты Q, переданное газу. Построить график процесса.

Дано: m = 2 кг М = 32 кг/моль V1 = 1 м^3 р1 = р2 = 2·10^5 Мпа V2 = 3 м^3 р3 = 5·10^5 Мпа R = 8,31·10 ^–3 Дж/(кмоль·К)	Решение: Изменение внутренней энергии газа выражается формулой: , (1) где i – число степеней свободы молекул газа для двухатомных молекул кислорода (i = 5); М – молярная масса; R – молярная газовая постоянная.
ΔU - ? А - ? Q - ?

Начальную и конечную температуры найдем, используя уравнение Менделеева - Клайперона:

. (2)

Решая его относительно Т, получим: (3)

Подставляя в выражение (1) числовые значения входящих в него

величин, находим:

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой: . Подставив числовые значения, получим:

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А₂ = 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна: . Согласно первому началу термодинамики количество теплотыQ, переданное газу, равно сумме изменения внутренней энергии ΔU и работы А: , следовательно:.

График процесса приведен на рисунке 2.

Ответ: 3,65 МДж.

Задача 15. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества  = 1 моль и находящийся под давлением Р₁ = 0,1 МПа при температуре Т₁ = 300 К, нагревают при постоянном объеме до давления Р₂ = 0,2 МПа. После этого газ изотермически расширялся до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема V₁. Построить график цикла. Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и его термический КПД .

Дано: Р1= 0,1 Мпа = 1·10^5 Па Т1= 300 К Р2= 0,2 Мпа = 2·10^5 Па	Решение: ВкоординатахР, V график цикла имеет следующий вид
T2 – ? Т3 – ?  – ?	V1 V2 V

Переход газа на участке 1-2 происходит изохорически при V₁ = const. Давления и температуры газов в состояниях 1 и 2 связаны между собой соотношением:

=.

Отсюда T₂ = 2Т₁ = 600 K.

Так как переход газа 2-3 изотермический, то Т₂ = Т₃.

Термический КПД цикла определяется выражением

, (1)

где Q₁ – количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл, Q₂ – количество теплоты, отданное холодильнику за цикл.

Газ получает количество теплоты на участках 1-2 и 2-3

Q ₁= Q _1-2 + Q _2-3,

где Q _1-2 = C _v v (T ₂ - T ₁) – количество теплоты, полученное при изохорическом нагревании,

–количество теплоты, полученное при изотермическом расширении.

Газ отдает количество теплоты на участке 3-1 при изобарическом сжатии:

Q _3-1 = Q ₂ = C_р

–молярная теплоемкость газа при V = const, C _р – молярная теплоемкость газа при P = const.

Подставив значения Q ₁ и Q ₂, С _v и С _рв формулу (1) получим:

,

Ответ: T ₂ = T ₃ = 600 K, η = 9,9 %.

Задача16. Кислород массой 1 кг совершает цикл Карно. При изотермическом расширении газа его объём увеличивается в 2 раза, а при последующем адиабатическом расширении совершается работа 3000 Дж. Определить работу, совершенную за цикл.

Дано: V2 = 2V1 A2-3 = 3000 Дж i = 5	Решение: Идеальный цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат (рис. 3).
А - ?

На рисунке 3 участок 1-2 соответствует изотермическому расширению газа (Т₁ = Т₂), участок 2-3 – адиабатическому расширению газа, участок 3-4 – изотермическому сжатию (Т₃ = Т₄) и участок 4-1 – адиабатическому сжатию.

При изотермическом расширении внутренняя энергия идеального газа остается постоянной, следовательно, все подводимое тепло Q₁ идет на работу по расширению газа на участке 1-2, т.е.

(1)

При изотермическом сжатии на участке 3-4 Q₂ тепло отдается холодильнику (Q₂), и это количество теплоты определяется работой, затраченной на сжатие газа:

(2)

Состояния 2 и 3 лежат на одной адиабате, поэтому можно записать:

(3)

Для состояний 4 и 1, которые отвечают одной адиабате, имеем:

(4)

Поделив выражение (3) на (4), получим:

, (5)

так как Т₁ = Т₂ и Т₃ = Т₄.

Работа при адиабатическом расширении на участке 2-3 равна:

(6)

Работа при адиабатическом сжатии на участке 4-1 равна:

.

Так как Т₁ = Т₂, а Т₃ = Т₄, то А_{2 - 3} = -А_{4 - 1}, т.е. полная работа по адиабатическому сжатию и расширению равна нулю.

Следовательно, работа цикла: А = А_1-2 – А_3-4.

Из уравнений (1), (2) и (5) получим: (7)

Из уравнения (6) выразим разность температур Т₂ – Т₃, равную Т₁ – Т₃, и подставим в уравнение (7): . Произведем вычисления:.

Ответ: 831,6 Дж.

Задача 17. В результате изотермического расширения объем 8 г кислорода увеличился в 2 раза. Определить изменение энтропии газа.

Дано: M = 32 кг/кмоль V2 = 2V1	Решение: Изменение энтропии системы определяется по формуле: (1) где dQ – количества тепла,
∆S - ?

сообщенное газу, Т – абсолютная температура, S₁ и S₂ – значения энтропии в начальном и конечном состояниях системы.

При изотермическом расширении все подводимое количество теплоты идет на работу по расширению, т.е. dQ = dA = pdV.

Из уравнения Менделеева – Клапейрона: поэтому:

(2)

Подставляя выражение (2) в (1), получим:

Произведем вычисления:

Ответ: 1,44 Дж/град.

Задача 18. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы, и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.