2. 2.Фильтровой метод обработки сигналов

2.2.1Временные и частотные характеристики фильтров,согласованных с характеристиками сигналов

Основной операцией при оптимальном обнаружении является вычисление корреляционного интеграла z[y(t)]. При неизвестных параметрах сигнала необходимо применение многоканальных корреляторов. Однако значение корреляционного интеграла, например, независимо от времени запаздывания t_з сигнала, позволяют вычислить и одноканальные устройства - фильтры.

Покажем это. Пусть ожидаемое время запаздывания полезного сигнала α=t_з. Тогда он может быть представлен в виде

x(t,α)=x(t-t_з),

а корреляционный интеграл будет равен

. ( 5 )

Из выражения (5) видно, что корреляционный интеграл можно рассматривать как интеграл наложения или свертки, определяющий напряжение на выходе линейного фильтра с некоторой импульсной характеристикой. Остается лишь определить такую импульсную характеристику, которая обеспечит изменение выходного напряжения фильтра W(t) в зависимости от времени так же, как и корреляционный интеграл (рис. 11).

а). Импульсная характеристика фильтра

Пусть k(t) - импульсная характеристика фильтра. Величина k(t) представляет отклик на дельтаобразное воздействие δ(t) в момент времени t=0. Входной сигнал y(s) вызывает следующую реакцию фильтра:

. ( 6 )

Результаты W(t) воздействия y(t) на линейный фильтр сводятся к наложению откликов k(t-s) на непрерывно действующие дельтаобразные воздействия δ(t-s).

Отклик реализуемого фильтра не может предшествовать воздействию, поэтому

k(t)=0 при t<0.

1. О пределим импульсную характеристику фильтра, который может быть использован в качестве устройства, вычисляющего значения корреляционного интеграла для различных запаздываний ожидаемого сигнала t_з. Приравняем значение выходного напряжения фильтра в произвольный момент времени t=t₀+t_з к величине корреляционного интеграла

( 7 )

где c - постоянный множитель;

t₀- временная задержка фильтра.

Подставим в (7) значение интегралов (5) и (6), в результате получим

( 4 )

Равенство (4) выполняется, если

Обозначая t₀+t_з-s=t и вычисляя отсюда s-t_з=t₀-t, приходим к выражению импульсной характеристики фильтра

k_согл(t)=cx(t₀-t). ( 5 )

Следовательно, оптимизация возможна только при согласованном с ожидаемым сигналом выборе импульсной характеристики фильтра. Такие фильтры называются согласованными.

Подстановка t=t₀/2+ξ в (5) дает

Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра является зеркальным отображением ожидаемого сигнала х(t) (рис.12).

В еличина задержки фильтра t₀≥τ_и. Это необходимо для физической реализуемости фильтра, заключающейся в том, что импульсная реакция фильтра не может опережать «породившее» её воздействие δ-функции (рис. 13).

Величина С выбирается из условия обеспечения требуемого уровня сигнала на выходе фильтра. При выборе С необходимо соответствующим образом корректировать и порог обнаружения.

б). Частотная характеристика фильтра.

Частотную характеристику определяют как отношение комплексных амплитуд гармонических напряжений на выходе и входе фильтра для каждой частоты f. При воздействии на вход фильтра напряжения y(t) со значением спектральной плотности q_y(f) выходное напряжение фильтра имеет вид

Для δ-функции g_y(f)=1, тогда импульсная и частотная характеристика связаны парой Фурье – преобразований (рис. 14), т.е.

Частотную характеристику согласованного фильтра k_согл(f) определим по его импульсной характеристике k_согл(t) на основе преобразования Фурье и замены t₀-t=s:

где - комплексно-сопряженная спектральная плотность ожидаемого сигнала.

Поэтому

( 6 )

Таким образом, частотная характеристика согласованного фильтра равна произведению комплексно-сопряженного значения спектральной плотности напряжения сигнала и множителя запаздывания сигнала при прохождении его через фильтр.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра пропорциональна АЧС ожидаемого сигнала и в общем случае неравномерна (рис. 16).

.

Лучше воспроизводятся наиболее интенсивные спектральные составляющие. Вместе со слабыми составляющими сигнала значительно уменьшаются интенсивные составляющие помехи (например, при N(f)=N₀ в полосе частот сигнала).

Одним из основных требований к согласованному фильтру в частотной области, поэтому является следующее: он должен быть настроен на частоту принимаемого сигнала.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) согласованного фильтра имеет вид

( 7 )

Фазо-частотная характеристика согласованного фильтра в момент времени t₀+t_з компенсирует взаимные фазовые сдвиги отдельных гармонических составляющих сигнала и обеспечивает их сложение в фазе.

Действительно, пусть ожидаемый сигнал х(t-t_з) имеет спектр .

Тогда на выходе согласованного фильтра:

Подставляя вместо k_согл(f) его значение, получим

Используя формулу Эйлера и учитывая нечетность sin2πf(t-t_з-t₀), находим

Следовательно, напряжение на выходе согласованного фильтра определяется АЧС сигнала и не зависит от ФЧС, т.к. последний компенсируется ФЧХ фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени t=t_з+t₀ и эти значения суммируются (рис. 16).

В этот момент времени имеет место максимум напряжения выходного полезного сигнала

Другой интерпретацией отмеченного факта может служить следующее.

Гармоническая составляющая сигнала частоты ω на выходе СФ в момент времени t имеет полную фазу

которая обращается в нуль при t=t_з+t₀ независимо от частоты. Складываясь в фазе, спектральные составляющие сигнала и образуют в этот момент наибольшей пиковый выброс сигнала.

Таким образом, характеристики согласованного фильтра определяются соответствующими характеристиками обнаруживаемого сигнала:

импульсная характеристика фильтра является зеркальным отражением сигнала x(t);

амплитудно-частотная характеристика с точностью до постоянной составляющей совпадает с АЧС сигнала;

фазочастотная характеристика СФ определяется двумя слагаемыми. Первое равно ФЧС сигнала, взятому с противоположным знаком, и обеспечивает компенсацию фазовых сдвигов различных составляющих сигнала, а второе - обеспечивает задержку момента совпадения фаз составляющих сигнала на t₀.