Методы исследований в менеджменте. Статистические выводы. Оценки и проверка гипотез

Лекция № 3. Статистические выводы: оценки и проверка

гипотез

3.1 Точечные оценки и их свойства

3.2 Свойства выборочных оценок

3.3 Интервальные оценки

3.4 Проверка гипотез: основные понятия

3.5 Критерии проверки. Критическая область

Статистические выводы – это заключения о генеральной совокупности (т. е. о законе распределения исследуемой СВ и его параметрах либо о наличии и силе связи между исследуемыми переменными) на основе выборки, случайно отобранной из гене­ральной совокупности.

При исследовании различных параметров генеральной совокупности на основе выборки возможно лишь получение оценок этих параметров. Эти оценки строятся на основе ограни­ченного набора данных, что влечет за собой вероятность по­грешности. Заметим, что значения оценок могут изменяться от выборки к выборке. Процесс нахождения оценок по опреде­ленному правилу (формуле) будем называть оцениванием. Цель любого оценивания – получение наиболее точного значения оцениваемой характеристики.

Можно выделить два типа оценивания: оценивание вида распределения и оценивание параметров распределения. В ка­честве оценки вида распределения (в силу закона больших чи­сел) можно взять выборочное распределение, подсчитав часто­ты попадания рассматриваемой СВ в заданные подынтервалы интервального статистического ряда. Процедура оценивания всегда однотипна. На основе выборки с помощью соответствую­щей формулы рассчитывается оценка исследуемой характери­стики. В качестве оценок параметров распределения генераль­ной совокупности берутся их выборочные оценки. При этом различают два вида оценок — точечные и интервальные.

После определения оценок обычно встает вопрос об их качестве и статистической значимости. С другой стороны, часто до определения оценок выдвигаются предположения о значениях исследуемых параметров. Анализ соответствия результа­тов выборки выдвигаемым предположениям и определение статистической значимости полученных выводов обычно осу­ществляются по схеме статистической проверки гипотез, что также требует рассмотрения.

3.1 Точечные оценки и их свойства

Пусть оценивается некоторый параметр наблюдаемой СВ Х генеральной совокупности. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п: х₁, х₂, х_n, по которой может быть найдена оценка параметра . Например, для нормального закона распределения с плотностью вероятности

параметрами являются математическое ожидание т и среднее квадратическое отклонение σ.

Точечной оценкой параметра называется числовое зна­чение этого параметра, полученное по выборке объема п.

Оценка является функцией от выборки, т. е. = (х₁, х₂, х_n). Так как выборка носит случайный характер, то оценка является СВ, принимающей различные значения для различных выборок. Любую оценку (х₁, х₂, х_n) называют статистикой или статисти­ческой оценкой параметра .

Число ε такое, что называется точностью оценки Естественно стремление получить по возможности наиболее точную оценку при данном объеме выборки.

Приведем свойства, выполнимость которых желательна для того, чтобы оценка была признана удовлетворительной.

В силу случайности точечной оценки она может рассмат­риваться как СВ со своими числовыми характеристиками — математическим ожиданием и дисперсией . Чем бли­же к истинному значению и чем меньше , тем луч­ше будет оценка (при прочих равных условиях). Таким обра­зом, качество оценок характеризуется следующими основными свойствами: несмещенность, эффективность и состоятельность.

Оценка называется несмещенной оценкой параметра , если ее математическое ожидание равно оцениваемому пара­метру: = .

Хотя каждая отдельная оценка лишь в редких случаях сов­падает с соответствующей характеристикой генеральной сово­купности, при «аккуратном» оценивании многократное осуще­ствление выборок одного объема п обеспечивает совпадение среднего значения оценки по всем выборкам с истинным значе­нием оцениваемого параметра.

Разность - называется смещением или система­тической ошибкой оценивания. Для несмещенных оценок сис­тематическая ошибка равна нулю.

Свойство несмещенности оценки является важнейшим, но не единственным. Зачастую существует несколько возможных оценок одного и того же параметра. Какая из них лучше? Оче­видно, выбор будет сделан в пользу той из них, вероятность сов­падения которой с истинным значением оцениваемого парамет­ра выше. Оценка должна иметь такую плотность вероятности, которая наиболее «сжата» вокруг истинного значения оцени­ваемого параметра. Нетрудно заметить, что в этом случае она будет иметь наименьшую среди других оценок дисперсию.

Оценка называется эффективной оценкой параметра , если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой альтернативной оценки при фиксированном объеме выборки п, т.е. = . На рисунке 3.1 приведена схема, наглядно демонстрирующая преимущество эффективной оценки по сравнению с неэффективной оценкой параметра .

Каждая отдельная эффективная оценка не гарантирует того, что она дает более точное значение исследуемого параметра, чем менее эффективная. Однако вероятность такого исхода превышает 0,5.

Оценка называется асимптотически эффективной, если с увеличением объема выборки ее дисперсия стремится к нулю, т.е. при (индекс n в оценке применяется для подчеркивания объема выборки).

Рисунок 3.1 Рисунок 3.2

Оценка называется состоятельной оценкой параметра , если сходится по вероятности к при , т. е. для любого при . Другими словами, состоятельной называется такая оценка, которая дает истинное значение при достаточно большом объеме выборки вне зависимости от значений входящих в нее конкретных наблю­дений.

Схема возможного улучшения точности (несмещенности) состоятельной оценки приведена на рисунке 3.2.

В большинстве случаев несмещенная оценка является и состоятельной. С другой стороны, состоятельные оценки (возможно, не являющиеся несмещенными при малых объемах выборок) с увеличением объема выборки будут приближаться и лежать все «плотнее» к истинному значению (рисунок 3.2). Это указывает на асимптотическую несмещенность состоятельной оценки. Поэтому при невозможности получения несмещенной оценки целесообразно найти хотя бы состоятельную оценку.

Справедливо следующее утверждение: если и при , то - состоятельная оценка параметра .

Оценки, являющиеся линейными функциями от выборочных наблюдений, называются линейными.

Очень важную роль в эконометрике играют так называемые наилучшие линейные несмещенные оценки, или коротко BLUE-оценки (Best Linear Unbiased Estimators). Такие оценки, являясь линейными и несмещенными, имеют наименьшую дисперсию среди всех возможных оценок данного класса.