4.5 Розв’язок задачі для однорідного рівняння методом Фур’є

Метод Фур’є, або метод поділу змінних, дозволяє шукати розв’язок задачі для однорідного рівняння у вигляді степеневого ряду у випадках, коли довжина струни скінчена.

Задача. Методом Фур’є знайти розв’язок задачі про коливання точок жорстко закріпленої з обох кінців струни, якщо у початковий момент часу коливання задовольняють однорідним граничним умовам заданим початковим. Іншими словами, необхідно знайти функцію , що задовольняє рівнянню

, , (4.31)

однорідним граничним

(4.32)

та початковим умовам

. (4.33)

Шукаємо розв’язок задачі у вигляді добутку двох функцій

. (4.34)

Візьмемо другі частинні похідні від за змінними та

і підставивши їх до рівняння (4.31), отримаємо рівність

.

Розділивши її на добуток , ми відокремимо змінні

. (4.35)

Рівність (4.35) можлива тільки у тому випадку, коли обидві її частини окремо дорівнюють одній і тій же сталій. Позначивши її через , приходимо до крайової задачі та задачі Коші для двох звичайних диференціальних рівнянь другого порядку відносно змінних та

, (4.36)

(4.37)

Це крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Їх загальні розв’язки мають вигляд

(4.38)

, (4.39)

де і – довільні сталі. Їх необхідно вибрати так, щоб задовольнити граничним умовам (4.32) та початковим (4.33). Почнемо з граничних умов. Зрозуміло, що шуканий розв’язок їм задовольнятиме, якщо функція перетвориться на нуль у точках та Наклавши спочатку вимогу, щоб , ми, згідно рівності (4.38), отримаємо

,

Звідки випливає, що і вираз (4.38) спроститься

. (4.40)

Для , маємо . Відкидаючи тривіальний розв’язок , визначаємо із рівняння . Звідси, , або .

Підставляючи до (4.40) значення , отримаємо множину функцій змінної

, (4.41)

що обертаються на кінцях інтервалу в нуль та задовольняють рівнянню (4.36).

Значення називаються власними значеннями задачі (4.36) та (4.32)-(4.33), а функції (4.41) – відповідними їм власними функціями.

Так як задачі (4.36) та (4.37) пов’язані між собою умовою (4.34), то підставляючи до розв’язку (4.39) значення , отримуємо множину функцій, що залежать від та задовольняють рівнянню (4.37)

. (4.42)

Перемноживши (4.41) і (4.42), ми отримаємо, згідно з (4.24), множину функцій

, (4.43)

(де і ), кожна з яких задовольняє як рівнянню (4.21) так і умовам (4.32).

Лема. Якщо функції є частинними розв’язками рівняння , а ряд є рівномірно збіжним, то він також буде розв’язком цього рівняння.

Такими ж властивостями, згідно з лемою, володітиме будь-яка лінійна комбінація з частинних розв’язків .

Щоб задовольнити ще початковим умовам (4.33), складемо нескінченний ряд функцій , суму якого запишемо у вигляді

(4.44)

Якщо цей ряд збіжний і його члени можна двічі диференціювати як за змінною , так і за змінною (ці умови зазвичай виконуються), то сума (4.34) задовольнятиме рівнянню (4.31) і умовам (4.32).

Ідея методу Фур’є полягає у тому, щоб шляхом відповідного вибору коефіцієнтів і членів цього ряду задовольнити ще і початковим умовам (4.33). Це означає, що потрібно зажадати, щоб при підстановці значення в (4.43) виконувалася рівність

. (4.45)

Аналогічно, після підстановки до виразу, отриманого диференціюванням членів ряду (4.44) за змінною , повинна виконуватися рівність

. (4.46)

Зрозуміло, що для виконання умов (4.45) і (4.46) сталі і повинні відповідно дорівнювати коефіцієнтам рядів Фур’є функцій та . Іншими словами, потрібно взяти

, (4.47)

. (4.48)

Підставляючи вказані значення (4.47), (4.48) коефіцієнтів і у ряд (4.44), отримаємо розв’язок задачі (4.31)-(4.33) у вигляді ряду

. (4.49)

Отже, щоб розв’язати першу крайову задачу для одномірного хвильового рівняння з однорідними граничними умовами (4.31)-(4.33) достатньо обчислити коефіцієнти (4.47), (4.48) та підставити їх значення до розв’язку (4.49).

Приклад 4.2

Нехай початкові відхилення струни, яка закріплена у точках та , дорівнюють нулю, а початкова швидкість має вигляд

Визначити форму струни у будь-який момент часу .

Розв’язок. Маємо задачу (4.31)-(4.33), в умовах якої , у інтервалі та за межами цього інтервалу. Скориставшись формулами (4.47) та (4.48), обчислюємо коефіцієнти

, = .

Підставивши їх значення до формули (4.49), отримуємо розв’язок даної задачі у вигляді

.

Припустивши, що ряд (4.49) збіжний і диференційований, тоді можемо стверджувати, що функція і є шуканим розв’язком. Розглянемо її фізичний зміст.

Кожний член ряду можна записати у вигляді

.

У такому випадку він описує так звану «стоячу хвилю» або власні коливання. Усі точки струни здійснюють гармонічні коливання з власною циклічною частотою , амплітудою і однаковою початковою фазою ; вони одночасно (в однакових фазах) досягають максимальних відхилень або положення рівноваги (рис. 4.2).

Найменша власна частота називається частотою основного тону. Тони кратних частот називаються гармоніками або обертонами. Частота тим вища, чим коротша і легша струна і чим більший її натяг . На рисунку зображені картини коливань основного тону і перших двох обертонів ( і ). Таким чином, ряд (4.49) є сумою або суперпозицією стоячих хвиль з кратними частотами.

Рисунок 4.2

Як відомо, звуки підрозділяють на музичні, або ноти, і не музичні, або шуми; ноти породжуються періодичними, а шуми – неперіодичними коливаннями. У звучанні з музичного інструменту, ноті завжди наявні кілька тонів – основний тон і обертони. Зазвичай амплітуди гармонік швидко спадають зі зростанням їх номера. Тому головний внесок у звучанні ноті складає основний тон. Обертони додають звуку той або інший тембр. Отже, з фізичної точки зору, отриманий розв’язок має вигляд

(4.50)

Він означає, що струна озвучує музичну ноту, частота якої дорівнює , що визначається початковими умовами, сукупністю амплітуд які характеризують спектр (тембр) цієї ноти.