4.6 Задача про вимушені коливання струни
Нехай
маємо однорідну струну довжиною
,
закріплену на обох кінцях
.
На струну весь час діє збудження
.
Необхідно знайти розв’язок неоднорідного
рівняння, що задовольняє умовам
(4.51)
;
(4.52)
;
(4.53)
Для такого рівняння поділ змінних неможливий. Тому шукаємо розв’язок задачі (4.51)-(4.53) у вигляді суми функцій
, (4.54)
де функція – розв’язок однорідного рівняння
;
,
що задовольняє умовам (4.52), (4.53), а функція є розв’язок неоднорідного рівняння (4.51), що задовольняє однорідним умовам
,
(4.55)
(4.56)
(4.57)
Безпосередня перевірка показує, що складена функція (4) є розв’язком задачі (4.51)-(4.53) .
Розв’язок задачі (4.55)-(4.57) знайдено методом поділу змінних Фур’є у вигляді (4. 49).
Шукаємо розв’язок неоднорідної задачі з однорідними умовами у вигляді ряду за власними функціями задачі (4. 36).
(4.58)
Підбираємо
функцію
так,
щоб ряд (4.58) задовольнив рівнянню (4.55)
та однорідним початковим умовам (4.56)
(4.59)
Диференціюючи (4.58) за змінною та підставляючи в рівняння (4.55), будемо мати
(4.60)
Зафіксувавши
,
розкладемо функцію у ряд за власними
функціями (4.
36)
–однорідної задачі (в ряд синусів)
,
(4.61)
де
Підставляючи (4.61) y (4.60), будемо мати
(4.62)
Остання рівність можлива, коли рівні між собою вирази під знаком суми в (4.62). Приходимо до звичайного диференціального рівняння з однорідними умовами Коші
Ця задача є задачею Коші для звичайного диференціального рівняння другого порядку
(4.63)
де
,
.
Складемо характеристичне рівняння
,
де
– частинний розв’язок
неоднорідного рівняння (4.63).
Підставивши розв’язок задачі (4.63) у
(4.58) отримаємо розв’язок задачі для
неоднорідного рівняння з однорідними
умовами (4.55)–(4.57).
4.7 Неоднорідна перша крайова задача
Якщо кінці струни рухаються за певним законом, то для такої задачі формулюються неоднорідні граничні умови . У такому випадку маємо задачу
;
(4.64)
;
(4.65)
.
(4.66)
Така задача ще називається мішаною. Шукаємо її розв’язок у вигляді суми двох функцій
,
(4.67)
де
– нова шукана функція, а
–
довільна функція, що задовольняє
неоднорідним крайовим умовам.
Нехай
,
де
–
двічі диференційовані функції.
Підставляємо їх значення до крайових умов. Тоді маємо
,
.
Отже,
.
(4.69)
Підставляючи (4.67) до (4.64), приходимо до задачі
,
(4.70)
;
(4.71)
;
, (4.72)
де
(4.73)
Знайшовши розв’язок задачі (4.70)–(4.72), яка є задачею (4.51)–(4.53) у вигляді (4.58) та додавши до неї (4.69), ми отримаємо розв’язок неоднорідної крайової задачі (4.64)–(4.66) для хвильового рівняння.
Зауваження.
Якщо у задачі (4.64)–(4.66)
граничні умови другого роду, а саме
,
,
то функцію
шукаємо у вигляді
.
Тоді, після підстановки крайових умов,
функція
має вигляд
При
цьому задача (4.45)-(4.47) повинна задовольняти
однорідним крайовим умовам, що мають
вигляд
;
.
У такій
постановці власні значення однорідної
задачі (4.70)–(4.72) мають вигляд
,
а власні функції
.
Приклад 4.3
Розв’язати задачу
;
,
;
,
.
Шукаємо розв’язок у вигляді (4.67)
.
Згідно
з (4.68)
функція
має
вигляд
.
(4.74)
Функції
та
відповідно до (4.73)
.
Маємо задачу з однорідними граничними умовами
,
,
(4.75)
, , (4.76)
,
.
(4.77)
Розв’язок задачі (4.75)-(4.77) шукаємо у вигляді
,
(4.78)
де
(4.79)
Отже, щоб розв’язати першу крайову задачу з неоднорідними граничними умовами, необхідно знайти розв’язок двох задач одна з яких є першою крайовою задачею з однорідними граничними умовами (4.69)–(4.71), а друга повинна задовольняти неоднорідним крайовим умовам (4.65).