5.2.3 Средняя хронологическая

Для расчета средних уровней в моментных рядах динамики используется средняя хронологическая. Средний уровень моментного ряда с равными интервалами вычисляют по формуле:

Например, даны остатки готовой продукции на складе за I квартал:

1. – 80 тыс.руб.

2. – 91 тыс.руб.

3. – 97 тыс.руб.

4. – 88 тыс.руб.

Необходимо определить среднемесячные остатки готовой продукции.

В квартале три месяца. Если воспользоваться средней арифметической простой, то за январь остатки готовой продукции составят – (80+91):2=85,5 тыс.руб, за февраль – (91+97):2= 94 тыс.руб, за март – (97+88):2=92,5 тыс.руб.

В среднем за квартал:

тыс.руб.

Разделив на 2 слагаемые числителя получим:

тыс.руб.

Таким образом, средняя хронологическая - преобразованная форма средней арифметической простой.

Средний уровень моментного ряда с неравными интервалами определяется по формуле:

,

где x_i - уровни на определенный момент времени;

t_i - продолжительность периода между

моментами времени.

Например: изменение процента стандартной продукции зафиксированы в течение марта месяца:

1 марта – 80 %

5 марта – 78 %

9 марта – 90 %

17 марта – 83 %

31 марта – 87 %

Необходимо определить средний процент стандартной продукции за март месяц.

Процент стандартной продукции с 1 по 5 марта в среднем (80+78):2=79%, с 5 по 9 – (78+90):2=84%, с 9 по 17 – (90+83):2=86,5% и с 17 по 31 – 85%. Если эти проценты взвесить на число дней в каждом периоде и разделить на общее число дней в марте, то получим

%

Как видим, средняя хронологическая в моментном ряду динамики с неравными интервалами представляет собой преобразованную форму средней арифметической взвешенной.

5.2.4 Средняя геометрическая

Чаще всего средняя геометрическая используется при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.

Формула средней геометрической

x_i – значение вариант

П – произведение

n – число вариант

Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i,i₂ ,…i_n. Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q₀) и последующим наращиванием по годам:

q_n= q_0* i_1*i_2*…i_n= q_0*

Отсюда

Например, объем произведенной продукции в 2001 году по сравнению с 2000 г. увеличился на 8,2 %, а в 2002 г. по сравнению с 2001 г. – уменьшился на 1,6%. Как менялся объем производства в среднем за год?

Выразив изменения объема производства в индексах, получим: i₁=1,082, i₂=0,984.

Значит, в среднем ежегодный рост составил 1,032 или 103,2%, а ежегодный прирост – 0,032 или 3,2%.

Если известно, во сколько раз изменился объем производства за n лет по сравнению с базисным годом, то для определения среднего коэффициента роста надо решить уравнение степени n.

Например, объем производства в 2004 году по сравнению с 2000 годом увеличился на 34,6% (то есть составил 1,346). Определить среднегодовые темпы роста объема производства с 2000 по 2004 годы.

или 107,7%

где, х – уровень объема производства.

Значит, в среднем каждый год объем производства возрастал на 7,7%.