Глава 1. Арифметические ос­новы цифровой схемотехники

Формы представле­ния числовой информации в цифровых устройствах

Понятие информации имеет множество трактовок, отличающихся по полноте и предметной области. Приведём определение данного понятия, соответствующее нашему курсу:

Информация (лат. Informatio- сведение, разъяснение, ознакомление) - это сведения, являющиеся объектом передачи, распределения, преобразования, хранения или непосредственного использования.

Сведения возникают как предмет абстрактного описания некоторого объекта, явления или системы, т. е. присвоения знакового, образного соответствия. Источником информации в данном курсе будем считать некий схемотехнический элемент (датчик, ключ и тп.). Сведения о состоянии источника информации называются сообщениями. Элементарная единица сообщения - символ. Символы, собранные в группы, - слова. Для передачи сообщения преобразуются в материально-энергетическую форму - сигналы. Сигналом называется физический процесс, однозначно отображающий передаваемое сообщение с заданной точностью и пригодный для его обработки, хранения и передачи на расстояние.

Поскольку работать мы будем с числовой информацией, постольку символами будут числа. Для оперирования числами, необходимо ввести понятие системы счисления.

Система счисления — символический метод записи чисел.

Система счисления:

- даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);

- даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);

- отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Системы счисления бывают: позиционные, непозиционные и смешанные. Для выполнения арифметических операций наиболее удобны позиционные системы счисления, рассмотрим их подробнее.

П од позиционной системой счисления понимается b-ричная система счисления, b – основание системы счисления (целое число). Целое число без знака x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа :

где — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству 0 .

Каждая степень b^k в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя (номером разряда).

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число записывают в виде последовательности его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

.

Некоторые системы счисления:

десятичная – основание = 10, алфавит – цифры от 0 до 9, наиболее привычный способ представления числовой информации, удобно производить расчёты.

двоичная – основание = 2, алфавит – 0 и 1, наиболее простая, ввиду чего нашла широкое применение в электронике.

двоично-десятичная – на один разряд десятичного числа отводится 4 двоичных разряда (Например, десятичное число 311 будет записано в двоичной системе счисления в двоичном коде как 1 0011 0111, а в двоично-десятичном коде как 0011 0001 0001). Идея создания такой системы счисления в упрощении перевода между двоичным и десятичным числами. Однако, 4 двоичных разряда позволяют кодировать 16 состояний системы (2⁴=16), для кодирования одного десятичного разряда мы используем одно из первых десяти состояний, последние 6 состояний на каждый десятичный разряд остаются неиспользованными, отсюда нерациональный расход памяти и усложнение арифметических операций (т. к. имеются «не используемые» комбинации двоичных чисел.

восьмеричная – основание = 8, ровно 3 двоичных разряда, наряду с шестнадцатиричной, используется для сокращения записи двоичного числа.

шестнадцатеричная сис­темы – основание = 16, для обозначения цифр от 10 до 15 используются первые 6 букв латинского алфавита (2B = 2(11)).

Преобразование числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Целая часть переводится по следующему алгоритму (алгоритм деления): Пусть А₁₀ = а _n-1 * 2 ^n-1 +... + а ₁ * 2 ¹ + а ₀ * 2 ⁰

- поделим А₁₀ на 2, тогда неполное частное будет а _n-1 * 2 ^n-1 + … +а₁ ,а остаток а₀

- полученное неполное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет а₁ и т.д.

- на n-м шаге получим набор остатков а₀, а₁, а₂, ..., а_n-1, которые входят в двоичное представление числа А₁₀ и совпадают с остатками от последовательного деления данного числа на 2. Но мы получим их в обратном порядке. Нужно только переписать их .

А₁₀ = а _n-1 а _n-2 ... а ₁ а ₀

Н а рис. 1 приведён пример перевода целого числа из десятичной системы счисления в двоичную.

11₁₀=1011₂

Рис. 1

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

1. переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;

2. дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;

3. В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;

4. Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Так же можно переводить число в любу систему счисления из десятичной, заменив делитель на основание соответствующей системы.

Пример: переведём число 0.116₁₀ в двоичную систему счисления.

0,116 • 2 = 0,232

0,232 • 2 = 0,464

0,464 • 2 = 0,928

0,928 • 2 = 1,856

0,856 • 2 = 1,712

0,712 • 2 = 1,424

0,424 • 2 = 0,848

0,848 • 2 = 1,696

0,696 • 2 = 1,392

0,392 • 2 = 0,784

…

0,116₁₀=0,0001110110…₂

Преобразование двоичных чисел в десятичные удобнее всего производить на основании определения позиционной системы счисления.

Пример: переведём число 1010,011₂ в десятичную систему счисления.

1*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰+0*2^-1+1*2^-2+1*2^-3=8+2+1/4+1/8=10,375₁₀

Отметим, что таким же образом переводятся числа из любой системы счисления в десятичную.

Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатиричную и обратно производится посредством таблицы (рис. 2). Аналогичные таблицы могут быть легко получены для восьмеричного и двоично-десятичного форматов представления чисел.

Р ис. 2

Пример: 6A1₁₆=0110 1010 0001₂

Первый ноль слева можно не записывать, поскольку, очевидно, он не влияет на значение числа. При переводе из двоичной системы в шестнадцатиричную число разбивается справа на лево на четырёхразрядные блоки, которые переводятся в соответствии с таблицей.

И так, мы говорили, что слова передаются и обрабатываются техникой в виде сигналов. Сигналы бывают аналоговые и цифровые. Аналоговые сигналы являются первичными, снимаемыми непосредственно с источника информации. Цифровые сигналы являются искусственными, «рукотворными», их разделяют на две категории. К одной из них относят цифровой эквивалент аналогового сигнала (оцифровованный аналоговый сигнал). Он, с определённой степенью точности, несёт в себе информацию о численном значении параметров физических величин, содержащуюся в аналоговом сигнале. Ко второй категории относят так называемые логические сигналы, появление которых связано с наступлением или ненаступлением того или иного события. В дальнейшем цифровыми будем называть сигналы первого вида - цифровой эквивалент аналогового сигнала, а сигналы второго вида - логическими.

Остановимся подробней на цифровых сигналах. Как было упомянуто, наиболее удобной системой исчисления для схемотехники является двоичная система счисления. Один двоичный разряд называется битом, восемь бит – байтом, так же, иногда, некоторое количество бит (соответствующее разрядности регистров процессора, напр.) объединяют понятием машинного слова, размер машинного слова зависит от конкретной аппаратной платформы, но, как правило, не более 8 байт (64 бита).

Пред­ставления чисел с фиксированной и плавающей запятой.

Существует два способа представления чисел: с фиксированной запятой (точкой), когда количество разрядов под целую и дробную части заранее оговорены и с плавающей запятой (точкой), когда число представляется в виде нормализованной мантиссы и экспоненты. Первый способ прост в реализации, т. к. арифметические действия над числом, представленным таким образом, по сути, являются целочисленными. Минус фиксированной запятой – вероятность переполнения и потери точности. Что касается плавающей запятой, то, под нормализованной формой мантиссы, понимается число с одним целым значащим (не ноль) разрядом, под экспонентой понимается степень основания системы счисления, указывающая, на сколько разрядов мантисса смещена относительно естественной формы записи числа. Например: 635,477 = 6,35477 * 10². Очевидно, что двоичное число в виде мантиссы и экспоненты записывается в виде двух чисел. В некоторых стандартах первая цифра двоичной мантиссы не записывается, т. к. она всегда равна 1. Подробнее, а также о представлении 0 в формате с плавающей запятой, см. стандарт IEEE 754.

Арифметические действия над числами с плавающей запятой.

При сложении – выравниваются экспоненты, т. е. выбирается меньшее число, и его экспонента приравнивается к экспоненте большего числа, при этом происходит сдвиг запятой в мантиссе (если выравнивать большее число, то может получиться переполнение на мантиссе). Мантиссы складываются.

Пример: 3,6735*10²+1,1*10^-1=(3,6735+0,0011)*10²=3,6746*10²

При умножении – экспоненты складываются, мантиссы перемножаются, при необходимости, мантисса произведения нормализуется.

Пример: (3,6735*10²⁾*(1,1*10^-1)= 3,6735*1,1*10^2-1=4,04085*10¹

Деление аналогично умножению, но экспоненты вычитаются.

Пример: (3,6735*10²⁾/(1,1*10^-1)= 3,6735/1,1*10^2-(-1)=3,3395*10³