10

Лабораторна робота № 8

Тема: «Робота з матрицями»

Теоретичні відомості

Робота з матрицями - серце наукових розрахунків, тому ефективні алгоритми для роботи з матрицями представляють значний практичний інтерес.

Властивості матриць. Матриці і вектори

Матриця (matrix) є прямокутним масивом чисел. Наприклад,

(2.1)

є матрицею розміру 2 x 3 А = (a_ij), де i = 1,2 і j = 1,2,3. Елемент на перетині i-го рядка і j-гo стовпця матриці - a_ij. Ми використовуємо заголовні букви для позначення матриць, а їх елементи позначаються відповідними маленькими буквами з нижніми індексами. Безліч усіх матриць розміром m x n, елементами яких є дійсні числа, позначається як R^{m х n}. У загальному випадку безліч матриць розміром m x n, елементи яких належать множині S, позначається як S^mxn.

Транспонована (transpose) матриця А^Т виходить з матриці А шляхом обміну місцями її рядків і стовпців. Так, для матриці А з (2.1)

Вектор (vector) є одновимірним масивом чисел. Наприклад

є вектором розміром 3. Для позначення векторів ми використовуємо маленькі букви і позначаємо і-й елемент вектору х як х_і. Стандартною формою вектора вважатимемо вектор-стовпець (column vector), еквівалентний матриці n х 1. Відповідний вектор-рядок (row vector) виходить шляхом транспонування вектору-стовпця:

Одиничним вектором (unit vector) е_і називається вектор, і-й елемент якого дорівнює 1, а усі інші елементи дорівнюють 0. Зазвичай розмір одиничного вектору ясний з контексту.

Нульова матриця (zero matrix) - це матриця, усі елементи якої дорівнюють 0. Така матриця часто записується просто як 0, оскільки неоднозначність меж числом 0 і нульовою матрицею легко вирішується за допомогою контексту. Якщо розмір нульової матриці не вказаний, то він також виводиться з контексту.

Часто доводиться мати справу з квадратними (square) матрицями розміром n х n. Деякі з квадратних матриць представляють особливий інтерес.

1. Діагональна матриця (diagonal matrix) має ту властивість, що а_ij = 0 при i ≠ j. Оскільки усі недіагональні елементи такої матриці дорівнюють 0, діагональну матрицю можна визначити шляхом перерахування її елементів уздовж діагоналі:

2. Одинична матриця (identity matrix) I_n розміром n х n є діагональною матрицею, усі діагональні елементи якої рівні 1:

Якщо використовується позначення I без індексу, розмір одиничної матриці визначається з контексту. Помітимо, що i-м стовпцем одиничної матриці є одиничний вектор е_i.

3. Верхньо-трикутною матрицею (upper - triangular matrix) U називається матриця, у якої усі елементи нижче діагоналі дорівнюють 0 (u_ij = 0 при і > j) :

Верхньо-трикутна матриця є одиничною верхне-трикутною матрицею (unit upper - triangular), якщо усі її діагональні елементи дорівнюють 1.

4. Нижньо-трикутною матрицею (lower - triangular matrix) L називається матриця, у якої усі елементи вище за діагональ дорівнюють 0 (l_ij = 0 при i < j) :

Нижньо-трикутна матриця є одиничною нижньо-трикутною матрицею (unit lower - triangular), якщо усі її діагональні елементи дорівнюють 1.

5. Матриця перестановки (permutation matrix) Р має в кожному рядку і стовпці рівно по одній одиниці, а на усіх інших місцях розташовуються нулі. Прикладом матриці перестановки може служити матриця

Така матриця називається матрицею перестановки, тому що множення вектору х на матрицю перестановки призводить до перестановки елементів вектору.

6. Симетрична матриця (symmetric matrix) А задовольняє умові А = А^Т. Наприклад, матриця

является симетричною.