Лабораторная работа №4
ПОБУДОВА ІМОВІРНІСНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВИПАДКОВИХ ПОХИБОК
Мета роботи: ознайомитись з методами оцінки випадкової похибки вимірювань та побудовою функціональних залежностей при багатократних вимірюваннях.
Завдання
1.Згідно з заданим варіантом на основі теоретичного матеріалу виконати:
побудову варіаційного ряду;
побудову статистичного ряду;
2. Визначити розмах вибірки для кожного ряду.
3. Побудувати полігони частот та гістограми.
4. Зробити висновки.
Короткі теоретичні відомості
Обробка даних при вимірюванні являє собою заключний етап вимірювання, на якому згідно отриманих експериментальних даних за допомогою методів математичної статистики отримують шуканий результат вимірювання та показники його похибки.
При виконанні деяких вимірювань суттєву роль відіграє випадкова похибка, яка визиває розсіювання результатів вимірювань в серії багаторазових вимірюваннях.
Випадковою
похибкою
називається складова
похибки
,
що непрогнозовано змінюється у ряді
вимірювань однієї і тієї ж величини.
Вони піддаються строгому математичному опису, що дозволяє робити висновки про якість вимірів, у яких такі похибки присутні. При обробці даних найчастіше використовують статистичні методи, в основі яких лежать уявлення та методи теорії ймовірностей.
Випадкова
величина
x
повністю
задається щільністю
ймовірності
(інші
назви – розподіл
ймовірності,
розподіл
величини
x).
Випадкові похибки підкоряються наступним закономірностям:
похибки утворюють безперервний ряд значень;
за великої кількості вимірів похибки різних знаків, але однакові за величиною, зустрічаються однаково часто;
частота появи похибок зменшується при збільшенні їх значень.
При обробці даних вимірів у науці та техніці звичайно припускають нормальний закон розподілу випадкових похибок вимірів.
Основними числовими характеристиками нормального закону розподілу є математичне очікування і дисперсія.
Математичне очікування похибки вимірювань є невипадковою величиною, відносно якої розсіюються інші значення похибки при повторних вимірюваннях. Математичне очікування характеризує систематичну складову похибки.
Дисперсія похибки характеризує ступінь розсіювання окремих значень похибки відносно математичного очікування.
Кореляція - статистичний взаємозв'язок двох або кількох випадкових величин. При цьому, зміни однієї або декількох з цих величин призводять до систематичної зміни іншої величини. Математичної мірою кореляції двох випадкових величин служить коефіцієнт кореляції.
Коефіцієнт кореляції (позначається «r») розраховується за спеціальною формулою і змінюється від -1 до +1. Показники близькі до +1 говорять про те, що при збільшенні значення однієї змінної збільшується значення іншої змінної. Показники близькі до -1 свідчать про зворотний зв'язок, тобто при збільшенні значень однієї змінної, значення іншої зменшуються.
Результат вимірювання є випадковою величиною, яка задається безліччю можливих значень.
Розсіювання результатів в ряді вимірювань – це неcпівпадання результатів вимірювань однієї і тієї ж величини в ряді рівноточних вимірювань, що як правило, обумовлені дією випадкових похибок.
Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкових величин і відповідними їм ймовірностями. Найпростішою формою такого закону є вибірка у вигляді варіаційного або статистичного ряду.
Варіаційним
або ранжованим рядом
вибірки
називається спосіб її запису, за якого
елементи
розташовуються в порядку
зростання, тобто у вигляді послідовності:
,
де
Елементи
вибірки
називаються варіантами.
Різниця
між мінімальним і максимальним елементами
вибірки
називають розмахом вибірки
.
Нехай
у вибірці
обсягу
елемент
зустрічається
разів.
Число
називається частотою елемента
,
а сума всіх частот
дорівнює обсягу
вибірки:
.
Відносною частотою варіанти називається відношення відповідної їй частоти до обсягу вибірки:
Оформимо ранжований ряд у вигляді статистичного.
Статистичним
рядом називається послідовність пар
,
записана у вигляді таблиці, де перший
рядок містить елементи
,
а друга їхні частоти
:
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
Графічне представлення варіаційного ряду дозволяє представити в наочній формі закономірності досліджуваної величини. Графічно варіаційні ряди можна представити у вигляді полігона та гістограми
Полігоном
частот називають ламану лінію, відрізки,
якої
з'єднують точки
,
,…,
.
Для
побудови полігона частот по осі абсцис
відкладають варіанти
,
а по осі ординат - відповідні їм частоти
.
Точки
з'єднують відрізками прямих і одержують
полігон частот (рис.1).
Якщо даних для обробки багато (вибірка великого обсягу) і повторюваних значень немає (або дуже мало), то доцільніше будувати гістограму (рис.1).
Рис.1