Динамика вращательного движения Справочный материал к тестированию по теме

Материальная точка, в силу своего определения может совершать только поступательное движение. Движение всякого твердого тела является более сложным. Абсолютно твердым телом называют тело – это система, состоящая из бесконечно большого числа частиц (материальных точек) расстояния между которыми остаются неизменными при любых движениях и взаимодействиях тела. Любое движение твердого тела может быть представлено как наложение его поступательного и вращательного движения. Выделяют два типа сложного движения твердого тела: плоское и неплоское.

Плоское – это такое движение, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. В случае плоского движения скорость поступательного движения всех точек одинакова и перпендикулярна угловой скорости . Поэтому плоское движение можно представить как ряд последовательных элементарных вращений относительно мгновенных осей.

Мгновенная ось вращения – это ось, относительно которой тело совершает элементарный поворот в данный момент времени.

В случае неплоского движения элементарное перемещение тела можно представить как поворот относительно мгновенной оси только в том случае, если . Когда указанное условие не выполняется, то всякое элементарное перемещение есть наложение двух движений в каждый момент времени: вращения относительно этой оси и поступательного вдоль нее.

Центр масс тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил.

При вращательном движении вместо массы, используется скалярная физическая величина – момент инерции тела . Как и масса, она является мерой инертности тела и обладает свойством аддитивности. В отличие от массы численное значение момента инерции зависит от выбора оси вращения тела.

Момент инерции материальной точки есть произведение массы этой точки на квадрат расстояния от этой точки до оси или центра вращения.

В случае, если тело нельзя представить в виде материальной точки, то оно мысленно разбивается на элементарные массы (предельно малые элементы тела) и момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через центр масс можно представить в виде суммы произведений значений элементарных масс на квадраты расстояний от них до оси вращения.

Если ось вращения не проходит через центр масс твердого тела, то его момент инерции можно найти по теореме Штейнера: момент инерции , относительно оси, не проходящей через центр масс, равен сумме момента инерции относительно воображаемой оси, проходящей через центр масс параллельно реальной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Оси, проведенные через центр масс тела и сохраняющие свое направление в пространстве при вращении относительно них тела, называют свободными осями. Три взаимноперпендикулярные свободные оси, которые являются осями симметрии, называют главными осями инерции. Устойчивым является вращение только относительно тех главных осей, момент инерции относительно которых является минимальным или максимальным в отсутствии какого-либо воздействия. Если внешнее воздействие существует, то устойчивым будет только вращение относительно главной оси с минимальным моментом инерции.

Если у однородного тела все моменты инерции одинаковы, то он является шаровым волчком. Если однородное тело обладает осевой симметрией и два главных момента инерции одинаковы, то оно – симметричный волчок. Однородное тело, у которого все три главных момента различны – асимметричный волчок.

Проекция момента импульса на ось OZ - , совпадающую с некоторой фиксированной осью вращения, проходящей через твердое тело равна произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость, которая совпадает с этой осью. Это справедливо для любого тела.

Вектор момент импульса равен произведению момента инерции тела относительно некоторой оси вращения на вектор угловой скорости. Это утверждение верно лишь в случае, когда тело вращается вокруг оси симметрии или несимметричное тело вращается относительно одной из главных осей инерции.

Основной закон динамики вращательного движения связывает суммарный момент внешних сил , действующих на абсолютно твердое тело, с угловым ускорением. Они связаны через момент инерции тела относительно заданной оси вращения. В векторной форме этот закон выполняется только при вращении тела относительно главных осей инерции. Проекция суммарного момента внешних сил на ось , совпадающую с реальной фиксированной осью вращения, равна произведению момента инерции относительно этой оси на проекцию углового ускорения. Это утверждение выполняется относительно любых оси и тела. Основной закон динамики вращательного движения является аналогом второго закона Ньютона в интегральной форме. Момент инерции в нем играет роль массы.

Кинетическая энергия вращающегося тела, как и кинетическая энергия поступательно движущегося объекта, пропорциональна квадрату угловой скорости . Причем коэффициентом пропорциональности является момент инерции .

Механическая работа внешних сил при вращательном движении тела обусловлена его поворотом, если вектор угла поворота не перпендикулярен моменту внешних сил.

Кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения, со скоростью равной скорости центра масс , и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.