Розв’язання задачі без урахування власної ваги.
Брус, який розглядається, є статично визначеним і має три ділянки. При визначенні і розрахунок ведемо від вільного кінця (у цьому разі реакцію R визначити не потрібно), тобто визначаємо та по силах, що розташовані вище розглянутих перерізів.
а) б) в)
Рис.1.1
а) б) в)
Рис. 1.2
Згідно з рис. 1.2 а, б, в визначаємо і .
Ділянка І:
,
,
Ділянка II:
,
Ділянка Ш:
,
,
За отриманими даними будуємо епюри і (рис. 1.1 б,в).
Небезпечними будуть перерізи, які належать ділянці Ш. Умова міцності (1.6) для цих перерізів виконується, тому що
.
Повна деформація бруса
,
де , , – деформації відповідних ділянок бруса.
Згідно з (1.2)
,
,
,
.
Переміщення перерізу I-I відносно затиснення
.
Розв’язання задачі з урахуванням власної ваги.
Згідно з рис. 1.4 а, б, в визначаємо і .
а) б) в)
Рис. 1.3
а) б) в)
Рис. 1.4
Ділянка І:
,
, ,
,
.
При x = 0:
,
При x = 4м:
,
Другий член у виразі для N1 являє собою власну вагу ділянки 1 Q1=18кH.
Ділянка ІІ:
,
, ,
,
.
При x = 4м:
,
При x = 6м:
.
Третій член тут дорівнює власній вазі другої ділянки Q2=18кH.
.
Ділянка ІІІ:
,
,
,
, .
При х = 6 м;
,
.
При x=11м:
.
П’ятий член дорівнює власній вазі третьої ділянки Q3=45кH.
.
За отриманими даними будуємо епюри N і σ (рис. 1,3 б,в).
Небезпечним буде нижній переріз бруса. Умова міцності (1.6) для цього перерізу виконується, тому що
.
Повна деформація бруса
,
де , , – деформації відповідних ділянок бруса.
Згідно з (1.4)
.
Переміщення перерізу 1-1, який належить ділянці Ш:
,
де
Отримуємо
За допомогою формули (1.11) доберемо найбільш економічні розміри квадратного поперечного перерізу кожної ділянки бруса.
Для ділянки 1
.
Тоді сторона квадратного перерізу
.
Для ділянки П
Для ділянки Ш
Задача №1.2. Абсолютно жорсткий брус АВ підтримується стальними стержнями 1 і 2 (рис.1.5). При а=1м, b=4м, с=2м, d=3м, D=3м, A1=4см2=4·10-4м2, А2=6см2=6·10-4м2, Е=2·105 МПа, α=45о, [σ]=160МПа, потрібно визначити: а) зусилля і напруження в стержнях (в частинах сили F);
б) допустиме навантаження [F].
Для визначення чотирьох невідомих – зусиль N1, N2, реакцій опори Hc і Vc (рис. 1.5 б) можна записати лише три рівняння статики. Таким чином, система є один раз статично невизначеною.
Через те, що в задачі необхідно визначити тільки зусилля і , з трьох рівнянь статики залишаємо тільки одне (до цього рівняння не увійдуть опорні реакції і ):
.
Щоб скласти додаткове рівняння, розглянемо деформацію заданої системи (рис. 1.5 а).
а) в)
Рис. 1.5
З подібності трикутників та
. (1.12)
Зважаючи на те, що
, .
Вираз (1.12) набуватиме вигляду
. (1.13)
У рівняннях статики, як і в статично визначених системах, усі невідомі зусилля вважаються додатними (розтягуючими )(рис. 1.5 б).Проте на деформованій схемі деякі стержні можуть бути стиснутими (стержень 1 на рис. 1.5 а). У цьому разі для приведення у відповідність знаків зусиль і деформацій вирази для деформацій стислих стержнів мають бути записані зі знаком “–“.
Для даної задачі
, .
Рівняння сумісності деформацій (1.13) набуде вигляду
. (1.14)
Підставляючи в (1.12) та (1.14) числові значення a, b, c, , , , матимемо систему рівнянь
Після розв’язання її маємо:
, .
Визначаємо напруження в стержнях
,
.
Як бачимо, найбільш напруженим (небезпечним) буде стержень 2. Записуючи для нього умову міцності
,
одержуємо
.
Задача №1.3. Для заданої стержневої системи (рис. 1.6), вважаючи горизонтальний брус абсолютно жорстким, визначити ступінь статичної невизначеності та скласти рівняння сумісності деформацій, якщо .
Рис. 1.6
Для визначення трьох невідомих зусиль у стержнях 1,2,3 можна скласти тільки два рівняння статики (як для системи сил, що перетинаються в одній точці). Отже, система є один раз статично невизначеною і, щоб її розрахувати, необхідно скласти одне рівняння сумісності деформацій, яке згідно з рис. 1.6 запишеться так: . Причому