- •Лабораторная работа № 8 математический и физический маятники
- •Теоретическая часть
- •Описание экспериментальной установки
- •Методика экспериментов и обработка результатов измерений
- •Контрольные вопросы
- •Исследование прямолинейного поступательного движения в поле сил тяжести на машине атвуда
- •Теоретическая часть
- •Принцип работы экспериментальной установки
- •Описание экспериментальной установки
- •Методика эксперимента и обработка результатов измерений
- •Контрольные вопросы
Лабораторная работа № 8 математический и физический маятники
Цель работы: изучение колебаний математического и физического маятников; определение ускорения свободного падения.
Теоретическая часть
Рис.
8.1.
. (8.1)
В этой записи уравнения учтено, что возвращающая сила всегда направлена в сторону, противоположную направлению возрастания смещения х. При малых отклонениях маятника от положения равновесия (угол не превышает 5–6 град.) можно считать, что , т.е. смещение по дуге можно считать приближенно равным смещению вдоль горизонтальной хорды. Уравнение (7.1) обычно записывается в виде:
, (8.2)
где: – циклическая частота гармонических колебаний.
Решением этого дифференциального уравнения является выражение: . Период колебаний маятника определяется формулой:
. (8.3)
Из этой формулы видно, что период колебаний математического маятника зависит только от ускорения силы тяжести в данном месте Земли и от длины маятника, и не зависит от амплитуды колебаний и от массы груза. Измеряя Т и используя формулу (8.3), можно вычислить ускорение свободного падения в данном месте земной поверхности.
Рис.8.2.
Другой колебательной системой, с помощью которой можно определить ускорение свободного падения, является физический маятник. Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания относительно неподвижной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 8.2).
Из-за наличия трения часть механической энергии маятника рассеивается в виде тепла, поэтому колебания всегда затухают. Так как маятник совершает вращательные колебания, то они описываются основным уравнением динамики вращательного движения относительно неподвижной оси:
, (8.4)
где: – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О; J0 – его момент относительно центра масс; - расстояние от точки О до центра масс С; m – масса маятника; – угловое ускорение; М – проекция на ось вращения результирующего момента всех сил, действующих на тело. Результирующий момент сил складывается из вращательного момента, создаваемого силой тяжести , и тормозящего момента, создаваемого силами трения , где k – коэффициент затухания, – угловая скорость. Знак «–» в формуле для вращательного момента отражает тот факт, что возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия, а в формуле для тормозящего момента то, что сила трения направлена против направления движения.
При малых углах отклонения , тогда , и уравнение (8.4) можно представить в виде:
. (8.5)
Введя обозначения: , где: – коэффициент затухания; , где: 0 – собственная частота маятника, получаем универсальный вид дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний:
, (8.6)
его решением является функция:
, (8.7)
где: – частота свободных затухающих колебаний, – начальная фаза.
Период свободных затухающих колебаний можно найти по формуле:
. (8.8)
Если считать, что затухание колебаний мало (см. конструкцию прибора), то им можно пренебречь в выражении (8.8). Учитывая, что получаем для периода колебаний физического маятника следующую формулу:
. (8.9)
где – приведенная длина физического маятника. Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний совпадает с периодом данного физического маятника.
Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника ( см.точку О' на рис 8.2). При подвешивании маятника в центре качания О' приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания. На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью так называемого оборотного маятника. Оборотным маятником называется такой маятник, у которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы, за которые он может поочередно подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и закрепляться на нем тяжелые грузы. Перемещением грузов добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно . Тогда значение ускорения свободного падения можно найти по формуле:
. (8.10)