1.9. Уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной

1. Уравнения вида y = f(y) и x = f(y)

Для уравнения первого типа получаем: Совершаем замену, получаем: . Имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: . Находим Общий интеграл представляется системой уравнений: .

Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:

.

2. Уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y: .

Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y.

Дифференцируя это уравнение, c учетом того, что , получаем:

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (линейное) относительно функции и аргумента вида:

Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.

С учетом замены , уравнение принимает вид:

- это уравнение имеет два возможных решения: или

В первом случае , тогда .

Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений: . Исключая параметр р, получаем второе решение F(x,y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением. Поэтому будет являться особым интегралом.

Пример. Решите уравнение .

Это уравнение разрешено относительно х. Поэтому полагаем , тогда . Находим и так как , имеем .

. Получаем:

Пример . Решите уравнение .

Это уравнение Лагранжа. Поэтому полагаем , получаем: .

Находим и так как , имеем .

Если , то Если , то – это частное решение.

§2. Дифференциальные уравнения высших порядков

2.1 Основные понятия

Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида: ,

или, решенное относительно старшей производной y⁽ⁿ⁾:

Начальным условием дифференциального уравнения порядка n называют соответствующие друг другу значения независимой переменной (х₀), функции (у₀) и ее производные . Записывается в виде:

Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши.

Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши). Если функция вида в некоторой области непрерывна и имеет непрерывные частные производные по , то какова бы не была точка ( ) в этой области, существует единственное решение уравнения , определенного в некотором интервале, содержащем точку х₀, удовлетворяющее начальным условиям .

Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.

2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

1) Уравнения вида y⁽ⁿ⁾ = f(x).

Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

…………………………………………………………….

Пример. Решить уравнение с начальными условиями

x₀ = 0, y₀ = 1,

Решаем с помощью понижения порядка:

.

Подставим начальные условия:

.

Получаем частное решение (решение задачи Коши): .