- •1.3. Уравнения с разделяющимися переменными
- •1.4. Однородные уравнения
- •1.5. Уравнения, приводящиеся к однородным
- •Разделяем переменные:
- •1.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •Подставляем полученное равенство в исходное уравнение:
- •1.7. Уравнение Бернулли
- •1.8. Уравнения в полных дифференциалах
- •1.9. Уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной
- •2. Уравнения Лагранжа и Клеро.
- •§2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •2.1 Основные понятия
- •2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •2) Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно.
- •3) Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
- •2.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •2.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Все корни характеристического уравнения различны:
- •2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами
- •2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида
- •§3. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§3. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Система уравнений: ,
где х - независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.
Такая система имеет вид: .
Теорема (Теорема Коши): Если в некоторой области функции … непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки этой области существует единственное решение системы дифференциальных уравнений вида, определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям
Общим решением системы дифференциальных уравнений вида будет совокупность функций , , … , которые при подстановке в исходную систему обращают уравнения в верные тождества.
При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3).
Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если они записана в виде: .
Решение системы ищется с помощью метода Эйлера, путем подстановки: и , где .
Заменив и перенеся все элементы в одну сторону и сократив на ekx, получаем:
Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, то есть:
Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы:
Тогда общее решение данной системы запишется в виде:
В случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения действительные решения имеют вид: и . В этом случае сразу записывают , , и находят функции z1, z2, u1 и u2, выражая их через функции y1 и y2 и их производные.
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
Составим характеристическое уравнение:
Решим систему уравнений:
Для k1:
Полагая (принимается любое значение), получаем:
Для k2:
Полагая (принимается любое значение), получаем:
Общее решение системы:
Этот пример может быть решен другим способом:
Продифференцируем первое уравнение: .
Подставим в это выражение производную у =2x + 2y из второго уравнения:
Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:
;
Тогда
Обозначив , получаем решение системы: .