Лекции по кинематике и динамике поступательного движения

Лекция 1: Кинематика поступательного и вращательного движения

План:

1. Модуль и направление углового перемещения.

2. Модуль и направление угловой скорости.

3. Мгновенная угловая скорость.

4. Связь линейной и угловой скоростей.

5. Модуль и направление углового ускорения.

6. Связь тангенциального и углового ускорения.

7. Мгновенное угловое ускорение.

1. Модуль и направление углового перемещения

Движение тела по криволинейной траектории можно приближенно представить как движение по дугам некоторых окружностей см. рис.1.

Пусть произвольная точка М сначала находилась в неподвижной плоскости Q (рис. 2). Затем переместилась в подвижной плоскости P на угол поворота .

Угол поворота (угловое перемещение) будим отсчитывать от неподвижной плоскости Q по часовой стрелке (см. рис. 3).

Направление углового перемещения совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта.

Модуль углового перемещения запишется по аналогии с координатой:

или или

или или

2. Модуль и направление угловой скорости

При малом угловом перемещении равен (1)

(2)

Разделим обе части последнего выражения на :

или (3)

(4)

где выражение

- есть средняя угловая скорость, т.е

, (5)

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. также как и вектор

Модуль угловой скорости запишется по аналогии с линейной скоростью:

или или

или или или

5. Мгновенная угловая скорость.

Мгновенная угловая скорость равна первой производной углового перемещения по времени:

(6)

При равномерном вращении , тогда

(7)

6. Связь линейной и угловой скоростей.

Если продолжить (3), то получим:

или

(8)

(9)

Вектор линейной скорости совпадает по направлению с векторным произведением . Векторное произведение всегда связано с правилом правого винта: вращая головку винта по направлению вектора , стоящего на первом месте в (9), к вектору , стоящему на втором месте, определяем по поступательному движению винта направление третьего вектора , см. рис. 5.

Модуль векторного произведения:

(10)

7. Модуль и направление углового ускорения.

При вращении за время угловая скорость получит приращение , тогда (8) примет вид:

(11)

Разделим обе части на , получим:

, (12)

где отношение - есть среднее угловое ускорение.

т.е. (13)

Вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скости при и противоположен ему при , см. рис 6.

8. Связь тангенциального и углового ускорения.

При вращении за время угловая скорость получит приращение , тогда (8) примет вид:

(14)

Разделим обе части на , получим:

(15)

или

(16)

Векторное произведение:

(17)

Вектор тангенциального ускорения совпадает по направлению с векторным произведением . Векторное произведение всегда связано с правилом правого винта: вращая головку винта по направлению вектора , стоящего на первом месте в (13), к вектору , стоящему на втором месте, определяем по поступательному движению винта направление третьего вектора .

9. Мгновенное угловое ускорение.

При получим мгновенное угловое ускорение:

, (18)

т.е. мгновенное угловое ускорение численно равно первой производной угловой скорости по времени или – второй производной углового перемещения по времени.

Приложение 1.

тип движения	рисунок, графики	формулы
Равномерное движение
Равноускоренное (равнозамедленное) движение
Движение тела, брошенного вертикально вниз		При
		При
Движение тела, брошенного вертикально вверх
		При
Движение тела, брошенного горизонтально		; ; ;
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Движение тела по окружности	Тангенциальное и нормальное ускорение. При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и ее направление, поэтому вектор ускорения представляют в виде двух составляющих: тангенциального () и нормального (). Тангенциальное (касательное) ускорение – составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке. (Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю; Направление вектора совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему). Нормальное ускорение – составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории в данной точке. (Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Вектор направлен по радиусу кривизны траектории). Модуль полного ускорения при этом определяется соотношением: . Направление полного ускорения определяют правилом сложения векторов: .

8