Лабораторная работа №7

Министерство образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

Методические указания к лабораторной работе № 11а по физике

Екатеринбург 2004

УДК 534(075.8)

Составители Ю.О. Есин, Н.Н. Серебренников, В.В. Киселев. Научные редактор проф., доктор физ.-мат. наук А.А. Повзнер.

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА: Методические указания к лабораторной работе № 11а по физике / Ю.О.Есин, Н.Н.Серебренников, В.В.Киселев. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2004, с

В методических указаниях изложен один из экспериментальных методов определения моментов инерции крутильного маятника и модуля кручения проволоки.

Библ. 2. Назв. Рис. 3. Прил. 1.

Подготовлено кафедрой физики

©Уральский государственный Технический университет

2004

2

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Крутильный маятник - массивное тело со значительным моментом инерции I, подвешенное на тонкой упругой проволоке так, что оно может совершать крутильные (вращательные) колебания вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью проволоки (см. рис. 1). Для придания маятнику значительного момента инерции I на стержне маятника укреплены два симметрично расположенных груза массой m каждый. Угол поворота маятника определяется с помощью круговой шкалы (от 0 до 400). На установке используется специальное автоматическое устройство, регистрирующее число N и время t = NT полных колебаний крутильного маятника.

При отклонении маятника на угол ϕ от положения равновесия проволока закручивается и маятник приобретает потенциальную энергию, равную энергии упруго деформированной проволоки. Если после этого систему предоставить самой себе, то она будет возвращаться в положение равновесия. При этом потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию вращения маятника, которая возрастает и в положении равновесия достигает максимума, а при дальнейшем вращении маятника уменьшается до нуля, превращаясь в потенциальную. После этого упругие силы вызовут поворот в обратном направлении. В результате маятник будет совершать крутильные колебания.

При повороте маятника на угол ϕ проволока закручивается и возникает момент M упругих сил, стремящихся вернуть маятник в положение равновесия. На основании закона Гука для деформации кручения момент M упругих сил в довольно широких пределах (в случае тонких нитей) пропорционален углу закручивания нити ϕ (в радианах)

M = −kϕ,

(1)

где k - постоянная величина для данной установки и проволоки, называемая ее модулем кручения. Знак "-" означает, что векторы момента М упругих сил и углового перемещения ϕr противоположны друг другу.

Модуль кручения k зависит от материала и геометрических размеров проволоки. Чем тоньше и длиннее проволока, тем меньше k и тем на больший угол повернется маятник при данном значении внешнего вращательного момента. Этим обстоятельством часто пользуются для создания чувствительных подвижных систем в измерительных приборах: в крутильных весах Кавендиша по определению гравитационной постоянной, Кулона - для измерения сил взаимодействия электрических зарядов и точечных магнитов; в зеркальных гальванометрах и т.п.

3

1.2. Колебания крутильного маятника

Основной закон динамики вращательного движения тела с постоянным моментов инерции I относительно оси вращения в проекциях на ось вращения (ось 0z) имеет вид:

				εz I = ∑M 0( i ) ,	(2)
где εz	=	d 2	ϕ	- проекция на ось 0z углового ускорения вращающегося тела;
		dt	2
∑М0( i ) = M 0( y ) + M 0( c ) - сумма проекций моментов упругих сил и					сил

сопротивления, действующих на вращающееся тело.

Известно, что момент сил сопротивления при небольших скоростях пропорционален угловой скорости и противоположен ей по направлению:

	M 0( c ) = −r	dϕ	,	(3)
		dt

где r - коэффициент сопротивления среды, зависящей от свойств среды и формы движущегося тела.

Рис. 1. Схема крутильного маятника

1 - проволока, 2 - грузы массой m, 3 - круговая шкала

Подставляя в уравнение (2) выражения для проекций моментов упругих сил и сил сопротивления из формул (1) и (3), получим

	d 2 ϕ	+	r		dϕ	+	k	ϕ = 0 .	(4)
	dt 2		I		dt		I

4

	Обозначив	r	= 2β	и	k	=ω02	(где β - коэффициент затухания, а ω0 угловая
		I			I

частота собственных колебаний), представим дифференциальное уравнение затухающих крутильных колебаний и в более удобной форме

	d 2 ϕ			dϕ	2
			+ 2β		+ ω0 ϕ = 0 .	(5)
	dt 2			dt
Общее решение ϕ(t) этого уравнения имеет вид:
		ϕ = ϕ0 e−βt cos( ωt + α),				(6)

где ω = ω02 − β 2 - угловая частота затухающих колебаний.

ϕ и α - начальные амплитуда и фаза колебаний Амплитуда затухающих крутильных колебаний изменяется со временем

по экспоненциальному закону (см. рис.2):

ϕm =ϕ0 e−βt	(7)
lnϕm =lnϕ0 − β t.	(8)

Коэффициент затухания β = 1τ есть физическая величина, обратная тому промежутку времени τ, по истечении которого амплитуда убывает в e = 2,7 раз.

Рис. 2 Изменение амплитуды затухающих колебаний от времени

5

2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

2.1. Определение коэффициента затухания β крутильного маятника

Итак, в общем случае колебания крутильного маятника являются затухающими. Чтобы найти коэффициент затухания β крутильного маятника, по круговой шкале определяют изменение амплитуды, а с помощью автоматического устройства (для счета числа и времени полных колебаний) находят время t, и число N полных колебаний (N = 10) крутильного маятника. Из этих измерений рассчитывают коэффициент затухания по формуле

β =

1

ln

ϕ0

=

1

ln

ϕ0

,

(9)

ϕN

NT

t

ϕN

где ϕ0 и ϕN - начальный и конечный

(после N полных колебаний)

углы

отклонения крутильного маятника,

T = 2π

ω

-

период затухающих колебаний.

При малом затухании, когда ω02 >> β 2 , можно использовать приближение

t =T ≈ 2π

ω

= 2π

I

.(10)

N

0

k

На лабораторной установке условие применимости соотношения (10) выполняется.

Коэффициент затухания β можно также найти по экспериментально построенной зависимости lnϕm от времени t (см. формулу (18) и рис. 3): β = tgα.

Рис. 3. Изменение логарифма амплитуды затухающих колебаний от времени

2.2. Определение моментов инерции крутильного маятника

Момент инерции I крутильного маятника с грузами массой m, расположенными симметрично на расстоянии R от оси вращения, согласно

6

теореме Штейнера может быть записан в виде
I = I 0 + 2mR 2 ,	(11)

где I0 - момент инерции маятника без грузов.

Если колебания крутильного маятника являются собственными, то из формулы (10) момент инерции I равен

	I = k	T 2	(12)
		4π 2

идля его расчета необходимо знать модуль кручения проволоки k и период колебания маятника T, которые могут быть определены экспериментально.

Для этого нужно измерить периоды колебаний маятника при двух симметрично расположенных грузах m на стержне маятника на расстояниях R1

иR2 (R1 > R2) от оси вращения (см. рис. 1). Комбинируя формулы (11) и (12), нетрудно найти модуль кручения проволоки

k =8π 2 m	R 2	− R 2
	1	2	.	(13)
	T 2
		−T 2
	1	2

а также моменты инерции I1 и I2 крутильного маятника с грузами на расстояниях R1 и R2 от оси маятника

		T	2
	Ii = k	i		(i = 1,2)	(14)
		4π 2

и момент инерции крутильного маятника без грузов

I	0	=	1	(I	1	+ I	2	)− m(R 2	− R 2 )	(15)
			2					1	2

2.3. Порядок выполнения работы

Задание 1. Определение модуля кручения проволоки, моментов инерции крутильного маятника, периода его колебаний и коэффициента затухания.

1. Подготовить установку к работе. Для этого грузы m расположить на стержне крутильного маятника симметрично на расстоянии R1 (напр., 90 мм). Расстояние R1 измеряется от оси маятника до центра одного из грузов. Установить указатель маятника на круговой шкале в нулевое положение

(ϕ = 0).

2.Отклонить маятник от положения равновесия на угол ϕ0 = 400. Сбросить показания на счетчике и отпустить маятник.

3.Когда показания счетчика полных колебаний будет равно N = 9, нажать

кнопку "стоп". В этом случае счетчик остановится. Зафиксировать угол ϕN - после 10 полных колебаний маятника.

4. Полученные значения ϕ0, ϕN, N и t1 = NT1 занести в табл. П.1.2.

7

5.Провести 5 аналогичных измерений.

6.Найти средние значения <ϕN>, <t> и <T>

7.Найти коэффициент затухания маятника

β= 1 ln ϕ0 .

<t > < ϕN >

8.Провести аналогичные измерения с грузами массой m, расположенными на

стержне крутильного маятника симметрично на расстоянии R2 (напр., R2 = 20мм), и выполнить пп.1-3. Полученные данные (ϕ0, ϕN, N и t2 = NT2 ) занести в табл. П.1.2.

9. Найти модуль кручения проволоки

k =8π 2 m	R 2	− R 2
	1	2	.
	T 2
		−T 2
	1	2

10. Найти моменты инерции крутильного маятника а) с грузами m на расстоянии R1:

I1 = k Tπ122 ;

4

б) с грузами m на расстоянии R2:

I 2 = k Tπ222 ;

4

в) без грузов:

I 0 = I1 +2 I 2 − m(R12 − R22 ).

Задание 2. Изучение зависимости амплитуды затухающих колебаний от времени.

1. Подготовить установку к работе. При заданном расстоянии грузов от оси маятника, например, при R = R2 = 20 мм отклонить маятник от положения равновесия на угол ϕ0 = 400, сбросить показания счетчика и отпустить маятник.

2.Во время колебаний маятника измерить амплитуду его колебаний ϕm через интервалы времени tm = 10, 20, 30, 40, 50 с. Полученные данные (ϕm, tm) занести в табл. 4.1.

3.Построить графики зависимостей амплитуды колебаний ϕm и логарифма амплитуды lnϕm от времени t.

8

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ФОРМА ОТЧЕТА

Титульный лист:

У Г Т У - У П И

О Т Ч Е Т

по лабораторной работе N 11а

Определение моментов инерции крутильного маятника и модуля кручения проволоки

Студент (ка)__________________

Группа ______________________

Дата ________________________

На внутренних страницах:

1. Расчетные формулы

I

=

k

T 2

, k =8πm

R12 − R22

, I

=

1

(I

+ I

)− m(R 2

− R 2 ),

T12 −T22

i

4π 2

i

0

2

1

2

1

2

где Ii и Ti - момент инерции и период собственных колебаний крутильного маятника при симметричном расположении двух грузов массой m на расстоянии Ri относительно оси вращения (i = 1,2); k - модуль кручения проволоки I0 – момент инерции крутильного маятника без грузов.

2. Средства измерений и их характеристики

					Таблица П.1.1
	Наименование	Предел	Цена	Класс		Предел
средств измерений		измерений или	деления	точности		основной
	и его номер	номинальное	шкалы			погрешности
		значение				θосн
1.	Счетчик числа
полных колебаний
2.	Счетчик времени
полных колебаний
3.	Круговая шкала
3.	Установка №...

Масса грузов m = (... ± ...) г

4.Результаты измерений

4.1.Измерения периода колебаний крутильного маятника при

R1=(...±...)мм.

9

				Tаблица П.1.2.
ϕ0 ,0 N	t = NT, c ϕN,0	t	, c	(<T> − Ti), c (<T> − Ti)2, c2
	T =
		N

1

2

3

4

5

<t> = ….c; <ϕN> = ….0; <T> = ……c; ∑(<T > −Ti )2 =……c2

Среднее квадратическое отклонение

	S<T > =	∑(<T > −Ti )2	=…….c.
		n( n −1)

Граница случайной погрешности

εT = tn,0,95 S<T > =……..c.

Граница неисключенной систематической погрешности

θT = θосн = …….с.

Граница полной погрешности результата измерений периода

∆T = εT2 + θT2 =……с.

Результат измерения периода

T= (<T > ±∆T )=……с, Р = 0,95.

4.2.Определение коэффициента затухания

β =

1

ln

ϕ0

= .....с-1.

<t >

<ϕN >

4.3. Измерение периода

колебаний

крутильного маятника при

R2 = (...± 1) мм.

(Выполнить вновь все пп. 4.1 и 4.2).

Таблица П.1.3

ϕ0 ,0

N

t = NT, c

ϕN,0

t

(<T> − Ti), c

(<T> − Ti)2, c2

T =

, c

N

1

2

3

4

5

10