14.3.Усталена помилка при дії з постійною швидкістю зміни

Дію з постійною швидкістю зміни, показану на рис.14.2,  можна описати лінійною функцією

x(t)= x₀+v×t,  t≥0,                                                        (1)

зображенням якої є

.                                                       (2)

Можна стверджувати, що усталена вихідна величина y_u(t) лінійної системи змінюється по такому закону, як і вхідна дія, тобто, y_u(t)= y₀+v_yt, оскільки окреме вимушене рішення диференціального рівняння лінійної системи знаходять в такому ж загальному вигляді, який має вхідна дія. Покажемо, що в не астатичній системі v_y ≠v, в результаті чого має місце накопичення помилки e(t), яка при t→ ∞ буде нескінченною.

Дійсно, зображення помилки в позиційній (не астатичній) системі матиме вигляд

,                               (3)

а усталена помилка дорівнюватиме

                        (4)

Графік вихідної величини y(t) з помилкою ε_u, яка росте до нескінченності, показаний на рис.14.2 пунктиром.

В астатичній системі першого порядку зображення помилки має вигляд

,                                 (5)

тому усталена помилка

.                                               (6)

Як бачимо, в астатичній системі статична помилка ε₀=0. Помилка e_v, обумовлена швидкістю v зміни вхідної дії дорівнює . Графік вихідної величини y(t) з постійною помилкою ε_u=e_v показаний на рис.14.2 суцільною лінією. Цю помилку називають швидкісною. В системі з астатизмом при збільшенні величини k швидкісна помилка зменшується.

 

 

Pис.14.2. Помилки в астатичній і неастатичній системах

 

Можна показати, що при поліноміальній вхідній дії n-го ступеню

x(t)=x₀+x₁t+x₂ t²+…+x_n tⁿ                                          (7)

в системі з астатизмом n-го порядку устелена помилка буде постійною величиною

.                                                          (8)

Це означає, що при дії з постійним прискоренням a

x(t)=x₀+v t+a t²                                                    (9)

в системі з астатизмом другого порядку помилка буде мати величину

.                                                        (10)

14.4. Точність системи при гармонічній дії

При гармонічній дії на вході x(t)=1·sin ωt в усталеному режимі на виході системи теж маємо гармонічну дію . При цьому розрізняють два види помилок: амплітудну і фазову. Амплітудна помилка – це помилка відтворення системою амплітуди вхідної дії, а фазова – помилка відтворення системою початкової фази вхідної дії. Тому амплітудна помилка

А _ε=1-A(ω),                                                   (1)

а фазова помилка

.

Помилки системи при гармонічній дії можна розглядати як різницю між частотними характеристиками ідеальної системи  і частотними характеристиками  і  реальної системи. Помилки відтворення амплітуди для астатичної і неастатичної систем показані на рис. 14.3.а і 14.3.б, а помилки відтворення фази на рис. 14.3.в.

На рис. 14.3а і 14.3б одиничний рівень амплітуди визначає ідеальну АЧХ. Амплітудна помилка системи з ідеальною АЧХ дорівнює нулю. АЧХ реальної системи відрізняється від ідеальної АЧХ. Відхилення АЧХ А(ω) від ідеальної АЧХ і є помилкою з амплітуди. Видно, що в астатичній системі помилка на нульовій частоті відсутня, оскільки вхідна дія з нульовою частотою – це статична дія.

Для неастатичної системи (рис.14.3.б) помилка для нульової частоти (тобто статична помилка) дорівнює  .

 

Рис.14.3. Амплітудна і фазова помилки при гармонічній дії

 

Для будь-якої стійкої автоматичної системи АЧХ на високих частотах наближається до нуля, а помилка з амплітуди наближається до одиниці. Діапазон частот, в якому амплітудна помилка А_ε=1-A(w)  не перевищує допустимої величини А_εдоп називають ефективною смугою пропускання системи. Допустиме значення амплітудної помилки А_εдоп встановлюють, виходячи з практичних міркувань. Гранична частота ω_гр ефективної смуги, для якої А_ε(ω_гр) =А_εдоп, є важливою характеристикою системи, яка характеризує інерційність системи.

Фазочастотна характеристика φ_ε(ω), показана на рис. 14.3.в. Фазова помилка є дзеркальним відображенням ФЧХ φ(ω). Це цілком природно, оскільки ФЧХ – це залежність від частоти фазового зсуву вихідного коливання відносно вхідного, тобто за визначенням ФЧХ є по суті фазовою помилкою системи або, точніше, ФЧХ відрізняється від фазової помилки тільки знаком.