Контрольні питання

1.            Запишіть вираз, який зв’язує між собою змінні s і z в білінійному перетворенні.

2.            Як з дискретної передатної функції знайти різницеве рівняння?

3.            Як з різницевого рівняння знайти дискретну передатну функцію?

4.            Як за допомогою різницевого рівняння побудувати структурну схему цифрового фільтра?

24. Часові і частотні характеристики цифрової системи

Перелік питань: розрахунок часових характеристик цифрової системи, прямий метод розрахунку частотних характеристик цифрової системи, наближений метод розрахунку частотних характеристик цифрової системи, особливості розрахунку частотних характеристик замкненої цифрової системи.

24.1. Розрахунок часових характеристик цифрової системи

Ефективний метод розрахунку часових характеристик цифрової системи пов’язаний з визначенням її різницевого рівняння, яке в загальному випадку можна записати в такому вигляді

.          (1)

Тут вхідна дія x(nT) і вихідна дія y(nT) дорівнюють нулю 0 при n<0 і порядок рівняння позначений символом m.

Різницеве рівняння являє собою функцію дискретної величини y(nT) від дискретного аргументу x(nT) задану в рекурентній формі. Воно дозволяє розраховувати часові і частотні характеристики ЦС при умові подачі на вхід системи потрібний для тієї чи іншої характеристики вхідний сигнал x(nТ). Для розрахунку, наприклад, імпульсної характеристики потрібно вхідний сигнал x(nT) задати рівним d(0). Тоді різницеве рівняння для розрахунку імпульсної характеристики прийме такий вигляд:

.          (2)

Для розрахунку перехідної характеристики потрібно вхідний сигнал x(nT) задати рівним 1(nT). Різницеве рівняння для розрахунку перехідної характеристики прийме такий вигляд:

.          (3)

Розв’язування різницевого рівняння вручну (за допомогою калькулятора) просте, але надто трудомістке при високому порядку рівняння і при великій потрібній кількості n значень функції y(nT). Тому розрахунок виконують на ПЕОМ за допомогою математичної програми. Різницеве рівняння легко програмується, тому програму розрахунку різницевого рівняння не важко скласти самостійно.

При необхідності виконати обчислення за допомогою стандартної математичної програми можна застосувати просту в користуванні програму MathCad. В цій програмі обчислення перехідної характеристики з рівняння третього порядку виконується таким обчислювальним фрагментом:

 

З результатів розрахунку h(nT) визначають практичну тривалість q перехідного процесу, величину пере регулювання  s% та інші показники якості перехідного процесу.

24.2 Прямий метод розрахунку частотних характеристик цифрової системи

Частотну передатну функцію W(jω), з якої визначають амплітудно-частотну і фазово-частотну характеристики, одержують із звичайної передатної функції, яку для цифрової системи можна записати в такому загальному вигляді:

.                                (1)

Загальний метод розрахунку частотної передатної функції для неперервних і цифрових систем зводиться до заміни в передатній функції змінної sзмінною jω. В передатній функції неперервної системи змінна s присутня явно, а в передатній функції дискретної системи її можна виявити двома основними способами. Перший спосіб виконується точною заміною z на s за формулою

.                                                   (2)

Метод розрахунку частотних характеристик з використанням підстановки (2) назвемо прямим або точним і розглянемо його детальніше. Замінимо в (2) z на jω і представимо результат заміни в більш практичній для розрахунків комплексно-алгебраїчній формі:

z = exp(jwT) = cos(ω∙T) + j∙sin(ω∙T).                                   (3)

Тепер в (1) замінимо змінну z на cos(ω∙T) + j∙sin(ω∙T). Результатом заміни буде комплексна частотна передатна функція W(w), комплексні вирази у чисельнику і знаменнику якої представимо спочатку у комплексно-алгебраїчній формі

,                            (4)

але після розрахунку дійсної і уявної складових комплексних виразів чисельника і знаменника для зручності подальших розрахунків представимо комплексні вирази чисельника і знаменника частотної ПФ в експоненціальній формі

                                                 (5)

де

,  ,             (6)

,                    (7)

.                   (8)

Тут для компактності формули для f₁(w) і f₂(w) записані так, як вони обчислюються програмою MathCad у відповідності з повною формулою обчислення функції arctg(b/a) для визначення кута величини a+jb. Смисл обчислення за формулами (7) і (8) очевидний: якщо дійсна складова комплексного виразу від’ємна то до головного значення функції arctg додається кут π.

Амплітудно-частотну характеристику цифрової системи визначимо з (5) як

A(w)=|W(w)|=M₁(w) / M₂(w),                                              (9)

а фазово-частотну характеристику як

j(w)=arg W(w)=f₁(w) - f₂(w).                                            (10)

При порівнянні частотних характеристик цифрової і неперервної систем слід пам’ятати, що воно можливе тільки в діапазоні частот від 0 до половинної частоти дискретизації p/T, де характеристики можуть бути подібними але не можуть для реальних систем точно співпадати між собою. Якщо дискретна передатна функція W(z) синтезована методом білінійного перетворення заміною s на z за формулою

,                                                      (11)

то розбіжність між частотними характеристиками цифрової системи і її аналогового прототипу можна визначити з таких міркувань. Зробимо в (11) заміну z на e^sT з наступною заміною в лівій частині змінної s на jω, а в правій на jω_c, де символом ω_c позначимо „цифрову” частоту, тобто частоту для частотних характеристик цифрової системи. В результаті такої заміни одержимо залежність між „аналоговою” і „цифровою” частотами у вигляді:

.                                           (12)

Звідси видно, що цифрова і аналогова частотні осі мало відрізняються між собою тільки в діапазоні низьких частот, коли аргумент тангенса <<1.Чим менший інтервал дискретизації T, тобто чим більша частота дискретизації F=(1/T), тим ширший діапазон частот, в якому спостерігається наближена рівність ω_c @ ω, але завжди половинній частоті дискретизації ω_c =(π/T) цифрової системи відповідає частота ω = ¥ аналогової системи. Це означає, що увесь безконечний інтервал [0,¥] „аналогових” частот відображений в інтервалі [0,π/T] „цифрових” частот.