- •Тема 4 Статистическая проверка гипотезы о законе распределения случайной величины
- •Статистическая гипотеза. Основные понятия
- •Задача выравнивания статистических рядов. Основные понятия
- •3 Критерии согласия проверки о законе распределения случайной величины
- •Данные для вычисления критерия
- •Вспомогательная таблица для вычисления критерия 2
- •4. Методика выравнивания статистического распределения
- •(Простая статистическая совокупность)
- •Эмпирическое распределение х
- •5. Пример проверки гипотезы о статистическом распределении по нормальному закону
- •Результаты вычисления теоретических частот нормального распределения
- •Данные для вычисления критерия
- •Результаты вычисления критерия
3 Критерии согласия проверки о законе распределения случайной величины
Для установления закона распределения генеральной совокупности по большой выборке из нее пользуются рядом критериев, из которых наибольшее практическое применение имеют критерий λ А. Н. Колмогорова и критерий Пирсона.
Критерий λ. Этот критерий дает достаточно точные результаты даже при объеме выборок, состоящих из нескольких десятков членов и прост для вычислений.
Для вычисления величины λ необходимо предварительно определить значения эмпирической Fэ(х) и теоретической F(х) интегральной функции предполагаемого закона распределения для каждого наблюденного значения случайной величины х. Затем по максимальной разности значений этих функций определяется λ при помощи следующей формулы:
. (4)
Так как и , где и - накопленные теоретические и эмпирические частоты, а n — объем выборки, то вместо формулы (4) можно пользоваться следующей формулой:
. (5)
Накопленной частотой любого m-го значения xi называется сумма частот всех предшествующих значений xi, включая и частоту самого xi, т. е.
(6)
где m — число значений хi; fi - частота i-го значения х.
Академик А. Н. Колмогоров доказал, что для непрерывных случайных величин
,
где . Для больших n и любом > 0 .
Функция K(λ) табулирована Н. В. Смирновым и при помощи таблицы значений K(λ) составлена таблица значений P(λ), которая приведена ниже (табл. 1).
По вычисленному по формуле (4) или (5) значению λ по табл. 1 определяют P(λ). Если вероятность P(λ) окажется очень малой, практически, когда P(λ) ≤ 0,05, то расхождение между F(x) и Fэ(х) считается существенным, а не случайным и гипотеза о предполагаемом законе распределения величины x бракуется. Если же вероятность P(λ) будет достаточно большой (практически, когда P(λ) > 0,05), то гипотеза принимается.
Таблица 1
Значения вероятностей Р (λ) для различных λ
|
P() |
|
P() |
|
P() |
|
P() |
0,30 |
1,000 |
0,70 |
0,7112 |
1,20 |
0,1122 |
1,90 |
0,0015 |
0,35 |
0,9997 |
0,75 |
0,6272 |
1,30 |
0,0681 |
2,00 |
0,0007 |
0,40 |
0,9972 |
0,80 |
0,5441 |
1,40 |
0,0397 |
2,10 |
0,0003 |
0,45 |
0,9874 |
0,85 |
0,4653 |
1,50 |
0,0222 |
2,20 |
0,0001 |
0,50 |
0,9639 |
0,90 |
0,3927 |
1,60 |
0,0120 |
2,30 |
0,0001 |
0,55 |
0,9228 |
0,95 |
0,3275 |
1,70 |
0,0062 |
2,40 |
0,0000 |
0,60 |
0,8643 |
1,00 |
0,2700 |
1,80 |
0,0032 |
2,50 |
0,0000 |
0,65 |
0,7920 |
1,10 |
0,1777 |
|
|
|
|
Использование критерия λ предполагает непрерывность и, кроме того, предполагается, что эмпирическая функция построена по не сгруппированным в интервалы значениям случайной величины х. Однако в случае, когда интервалы группировки достаточно малы, критерий λ дает, хотя и приближенную, но вполне приемлемую для практических целей оценку близости эмпирического распределения к теоретическому.
Для удобства вычисления критерия λ составляют вспомогательную таблицу, в которой накопленные частоты функции и вычисляются в зависимости от закона распределения х (табл. 2).
Таблица 2