отчеты по лабораторным работам / лабораторная работа № 2 / lab2_var6

\documentclass[a4paper,11pt, fleqn]{article}
\usepackage[warn]{mathtext}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{itmo}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{listings}
\usepackage{cite}
\usepackage{indentfirst} %Отступ в абзацах
% title
\author{Быковский Сергей}
\group{4105}
\title{Лабораторная работа №2}
\theme{Многокритериальное оптимальное проектирование }
\prepod{Богатырев В.А.}
\begin{document}
% % Title here
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\pagestyle{plain}
\section{Исходные данные}
\begin{tabular}{lll}
\(P_r=0.9\)& \(P_m=0.93\)& \(P_k=0.94\) \\
\(C_r=5\) &\(C_m=6\) &\(C_k=3\) \\
\(V_r=3\)& \(V_m=3\)& \(V_k=1\)\\
\(\lambda=0.7\lambda_0\) & \(S=250\)\\
\textbf{Исходная структура:} & 13\\
\end{tabular}

\includegraphics[scale=0.6]{img/13.png}

\section{Поэлементное резервирование узлов}

\textbf{Данный для расчетов:}
\bigskip

\begin{tabular}{llll}
    \(n:=
       \left (\begin{array}{c}
            1\\
            2\\
            2\\
            2\\ 
       \end{array}\right)\) & \(c:=
       \left (\begin{array}{c}
            3\\
            5\\
            3\\
            6\\ 
       \end{array}\right)\)& \(v:=
       \left (\begin{array}{c}
            1\\
            3\\
            1\\
            3\\ 
       \end{array}\right)\) & \(P:=
       \left (\begin{array}{c}
            0.94\\
            0.9\\
            0.94\\
            0.93\\ 
       \end{array}\right)\)\\[10mm]
       \(C0:=31\) & \(T0:=23.179\) & \(P0:=0.916\) & \(S:=250\)
\end{tabular}
\[P(n):=\prod_{i=0}^3 (1-(1-P_i)^{n_i})\]
\[T(n):=\sum_{i=0}^3 \frac{v_i}{1-\frac{\lambda \cdot v_i}{n_i}}\]
\[C(n):=\sum_{i=0}^3 (c_i \cdot n_i)\]
\[\lambda max(n) :=min \left(  \frac{n_0}{v_0},\frac{n_1}{v_1},\frac{n_2}{v_2},\frac{n_3}{v_3} \right )\]

\begin{tabular}{lll}
    \(C(n) \leq S\) & \(T(n) \leq T0\) & \(P(n) \geq P0\)
\end{tabular}

\newpage
\subsection{Главный критерий}

В качестве главного критерия возьмем надежность системы.
\bigskip

\begin{tabular}{llll}
    Given & & & \\
    \(C(ceil(n)) \leq S\) & \(T(ceil(n)) \leq T0\) & \(P(ceil(n)) \geq P0\) & \\
    \(\lambda \cdot  \frac{v_0}{n_0} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_1}{n_1} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_2}{n_2} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_3}{n_3} < 1\) \\
\end{tabular}

\[Pmax:=Maximize(P,n)\]
\[Pmax:=ceil(Pmax)=\left(\begin{array}{c} 
    27 \\ 
    13 \\ 
    8 \\
    8\\ 
    \end{array}\right)
\]
\[P(Pmax)=0.999999999255458\]
\[T(Pmax)=9.078\]
\[C(Pmax)=218\]
\[\lambda max(Pmax)=2.667\]

\subsection{Мультипликативный критерий}

\[Mmax(n):=\frac{P(n)\cdot\lambda max(n)}{C(n)T(n)}\]

\begin{tabular}{llll}
    Given & & & \\
    \(C(ceil(n)) \leq S\) & \(T(ceil(n)) \leq T0\) & \(P(ceil(n)) \geq P0\) & \\
    \(\lambda \cdot  \frac{v_0}{n_0} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_1}{n_1} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_2}{n_2} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_3}{n_3} < 1\) \\
\end{tabular}

\[a:=Maximize(Mmax,n)\]
\[a:=ceil(a)=\left(\begin{array}{c} 
   7 \\ 
    16 \\ 
    6 \\
    16 \\ 
    \end{array}\right)
\]
\[P(a)=0.9999999505\]
\[T(a)=8,731\]
\[C(a)=215\]
\[\lambda max(a)=5.333\]

\subsection{Аддитивный критерий}

\[\alpha:=\left(\begin{array}{c} 
    0.33 \\ 
    0.33 \\ 
    0.33 \\
    \end{array}\right)
\]

\[A(n):=\alpha_0 P(n)-\alpha_1 \frac{C(n)}{S} - \alpha_2 \frac{T(n)}{T0}\]

\begin{tabular}{llll}
    Given & & & \\
    \(C(ceil(n)) \leq S\) & \(T(ceil(n)) \leq T0\) & \(P(ceil(n)) \geq P0\) & \\
    \(\lambda \cdot  \frac{v_0}{n_0} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_1}{n_1} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_2}{n_2} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_3}{n_3} < 1\) \\
\end{tabular}

\[a:=Maximize(A,n)\]
\[a:=ceil(a)=\left(\begin{array}{c} 
    3 \\ 
    5 \\ 
    3 \\
    5 \\ 
    \end{array}\right)
\]
\[P(a)=0.999556371\]
\[T(a)=10.702\]
\[C(a)=73\]
\[\lambda max(a)=1.667\]

\subsection{Метод отклонения от идеала}

\[Tid:=\sum_{i=0}^3 v_i = 8\]
\[Cid:=\sum_{i=0}^3 c_i = 17\] 
\[Tid:=1\]

\[OI(n):=(Pid-P(n))^2 + \left(\frac{Tid-T(n)}{Tid-T0}\right)^2 +\left(\frac{Cid-C(n)}{Cid-S}\right)^2\]

\begin{tabular}{llll}
    Given & & & \\
    \(C(ceil(n)) \leq S\) & \(T(ceil(n)) \leq T0\) & \(P(ceil(n)) \geq P0\) & \\
    \(\lambda \cdot  \frac{v_0}{n_0} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_1}{n_1} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_2}{n_2} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_3}{n_3} < 1\) \\
\end{tabular}

\[a:=Maximize(OI,n)\]
\[a:=ceil(a)=\left(\begin{array}{c} 
    2 \\ 
    2 \\ 
    2 \\
    2 \\ 
    \end{array}\right)
\]
\[P(a)=0.978\]
\[T(a)=22.609\]
\[C(a)=34\]
\[\lambda max(a)=0.667\]

\subsection{Метод последовательной уступки}

\textbf{Первый шаг: максимизируем надежность}

\begin{tabular}{llll}
    Given & & & \\
    \(C(ceil(n)) \leq S\) & \(T(ceil(n)) \leq T0\) & \(P(ceil(n)) \geq P0\) & \\
    \(\lambda \cdot  \frac{v_0}{n_0} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_1}{n_1} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_2}{n_2} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_3}{n_3} < 1\) \\
\end{tabular}

\[ap:=Maximize(P,n)\]
\[ap:=ceil(ap)=\left(\begin{array}{c} 
    27 \\ 
    13 \\ 
    8 \\
    8 \\ 
    \end{array}\right)
\]

Введем допуск на надежность в 5\%:
\[Px:=0.95P(ap)=0.95\]

\textbf{Второй шаг: минимизируем стоимость}

\begin{tabular}{llll}
    Given & & & \\
    \(P(ceil(n))\geq Px\) & & &\\
    \(C(ceil(n)) \leq S\) & \(T(ceil(n)) \leq T0\) & \(P(ceil(n)) \geq P0\) & \\
    \(\lambda \cdot  \frac{v_0}{n_0} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_1}{n_1} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_2}{n_2} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_3}{n_3} < 1\) \\
\end{tabular}

\[ac:=Minimize(C,n)\]
\[ac:=ceil(ac)=\left(\begin{array}{c} 
    2 \\ 
    3 \\ 
    2 \\
    3 \\ 
    \end{array}\right)
\]

Введем допуск на стоимость в 10\%:
\[Cx:=1.1C(ac)=49.5\]

\textbf{Третий шаг: минимизируем время}

\begin{tabular}{llll}
    Given & & & \\
    \(P(ceil(n))\geq Px\) &  & &\\
    \(C(ceil(n)) \leq Cx\) &  & &\\
    \(C(ceil(n)) \leq S\) & \(T(ceil(n)) \leq T0\) & \(P(ceil(n)) \geq P0\) & \\
    \(\lambda \cdot  \frac{v_0}{n_0} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_1}{n_1} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_2}{n_2} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_3}{n_3} < 1\) \\
\end{tabular}

\[at:=Minimize(T,n)\]
\[at:=ceil(at)=\left(\begin{array}{c} 
    2 \\ 
    3 \\ 
    3 \\
    3 \\ 
    \end{array}\right)
\]

\[P(at)=0.995\]
\[T(at)=13.739\]
\[C(at)=48\]
\[\lambda max(at)=1\]

\subsection{Метод STEM}

Преобразуем значения, чтобы они были, чем больше, тем лучше:

\[T2(n):=T0-T(n)\]
\[C2(n):=S-C(n)\]

\textbf{Оптимизируем по надежности}

\begin{tabular}{llll}
    Given & & & \\
    \(C2(ceil(n)) \geq 0\) & \(T(ceil(n)) \geq 0\) & \(P(ceil(n)) \geq P0\) & \\
    \(\lambda \cdot  \frac{v_0}{n_0} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_1}{n_1} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_2}{n_2} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_3}{n_3} < 1\) \\
\end{tabular}

\[Pmax:=Maximize(P,n)\]
\[Pmax:=ceil(Pmax)\]
\[P(Pmax)=0.9999999993\]
\[T2(Pmax)=14.101\]
\[C2(Pmax)=32\]
\[\lambda max(Pmax)=2.667\]

\textbf{Оптимизируем по времени}

\begin{tabular}{llll}
    Given & & & \\
    \(C2(ceil(n)) \geq 0\) & \(T(ceil(n)) \geq 0\) & \(P(ceil(n)) \geq P0\) & \\
    \(\lambda \cdot  \frac{v_0}{n_0} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_1}{n_1} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_2}{n_2} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_3}{n_3} < 1\) \\
\end{tabular}

\[T2max:=Maximize(T2,n)\]
\[T2max:=ceil(T2max)\]
\[P(T2max)=0.9999999972\]
\[T2(T2max)=14.553\]
\[C2(T2max)=1\]
\[\lambda max(T2max)=6\]

\textbf{Оптимизируем по стоимости}

\begin{tabular}{llll}
    Given & & & \\
    \(C2(ceil(n)) \geq 0\) & \(T(ceil(n)) \geq 0\) & \(P(ceil(n)) \geq P0\) & \\
    \(\lambda \cdot  \frac{v_0}{n_0} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_1}{n_1} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_2}{n_2} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_3}{n_3} < 1\) \\
\end{tabular}

\[С2max:=Maximize(С2,n)\]
\[С2max:=ceil(С2max)\]
\[P(С2max)=0.931\]
\[T2(С2max)=4.375\]
\[C2(С2max)=214\]
\[\lambda max(С2max)=0.667\]

\textbf{Нормированная матрица}

\[Ci:=\left(\begin{array}{ccc}
    \frac{P(Pmax)}{P(Pmax)}  & \frac{T2(Pmax)}{T2(T2max)} & \frac{C2(Pmax)}{C2(C2max)}\\
    \frac{P(T2max)}{P(Pmax)} & \frac{T2(T2max)}{T2(T2max)} &\frac{C2(T2max)}{C2(C2max)}\\
    \frac{P(c2max)}{P(Pmax)} &\frac{T2(C2max)}{T2(T2max)} & \frac{C2(C2max)}{C2(C2max)}\\
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}
    1 & 0.969 & 0.15\\
    1 & 1 & 0.005\\
    0.931 & 0.301 & 1\\
\end{array}\right)\]

Средние значения столбцов без диагональных элементов:

\[\alpha:=\left(\begin{array}{c}
     0.966\\
     0.635\\
     0.077\\
\end{array}\right)\]

\begin{tabular}{lll}
    Given & & \\
    \(\frac{\lambda_0}{\lambda_1}=\frac{1-\alpha_0}{1-\alpha_1}\) &  \(\frac{\lambda_0}{\lambda_2}=\frac{1-\alpha_0}{1-\alpha_2}\) &     \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{1-\alpha_1}{1-\alpha_2}\)\\[5mm]
    $\sum_{i=0}^2\lambda_i=1$ &&\\
\end{tabular}

\[Find(\lambda)=\left(\begin{array}{c}
     0.026\\
     0.276\\
     0.698\\
\end{array}\right)\]

\textbf{Аддитивный критерий}

\[A(n):=\lambda_0 P(n)+\lambda_1 \frac{C2(n)}{S} - \lambda_2 \frac{T2(n)}{T0}\]

\begin{tabular}{llll}
    Given & & & \\
    \(C2(ceil(n)) \geq 0\) & \(T(ceil(n)) \geq 0\) & \(P(ceil(n)) \geq P0\) & \\
    \(\lambda \cdot  \frac{v_0}{n_0} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_1}{n_1} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_2}{n_2} < 1\) & \(\lambda \cdot  \frac{v_3}{n_3} < 1\) \\
\end{tabular}

\[a:=Maximize(A,n)\]
\[a:=ceil(a)=\left(\begin{array}{c}
     3\\
     5\\
     3\\
     5\\
\end{array}\right)\]
\[P(a)=0.999556371\]
\[T2(a)=12.477\]
\[C2(a)=177\]
\[\lambda max(a)=1.667\]

\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Задача & P & T & C\\[2mm]\hline
Локальная & 0.99 & 14.553 & 214\\[2mm]\hline
Глобальная & 0.99 & 12.477 & 177\\[2mm]\hline
\end{tabular}

\section{Общее резервирование}

\textbf{Данные для расчетов}

\begin{tabular}{llll}
    \(n:=
       \left (\begin{array}{c}
            1\\
            2\\
            2\\
            2\\ 
       \end{array}\right)\) & \(c:=
       \left (\begin{array}{c}
            3\\
            5\\
            3\\
            6\\ 
       \end{array}\right)\)& \(v:=
       \left (\begin{array}{c}
            1\\
            3\\
            1\\
            3\\ 
       \end{array}\right)\) & \(P:=
       \left (\begin{array}{c}
            0.94\\
            0.9\\
            0.94\\
            0.93\\ 
       \end{array}\right)\)\\[10mm]
       \(C0:=31\) & \(T0:=23.179\) & \(P0:=0.916\) & \(S:=250\)
\end{tabular}

\[P0:=Pk(1-(1-Pr)^2)(1-(1-PkPm)^2)\]
\[\lambda(k):=\frac{\lambda}{k}\]
\[T(k):=\frac{Vk}{1-\lambda(k)Vk}+\frac{Vr}{1-\lambda(k)\frac{Vr}{2}}+\frac{Vk}{1-\lambda(k)\frac{Vk}{2}}+\frac{Vm}{1-\lambda(k)\frac{Vm}{2}}\]
\[P(k):=(1-(1-P0)^k)\]
\[C(k):=k\sum_{i=0}^3 (c_i \cdot n_i)\]
\[\lambda max(k) :=min \left(  \frac{k \cdot n_0}{v_0},\frac{k \cdot n_1}{v_1},\frac{k \cdot n_2}{v_2},\frac{k \cdot n_3}{v_3} \right )\]

\subsection{Мультипликативный критерий}

\[Mmax(k):=\frac{P(k)\cdot\lambda max(k)}{C(k)T(k)}\]

\begin{tabular}{llll}
    Given & & & \\
    \(C(ceil(n)) \leq S\) & \(T(ceil(n)) \leq T0\) & \(P(ceil(n)) \geq P0\) & \\
    \(\lambda(k) \cdot  \frac{v_0}{n_0} < 1\) & \(\lambda(k) \cdot  \frac{v_1}{n_1} < 1\) & \(\lambda(k) \cdot  \frac{v_2}{n_2} < 1\) & \(\lambda(k) \cdot  \frac{v_3}{n_3} < 1\) \\
\end{tabular}

\[a:=Maximize(Mmax,k)\]
\[a:=ceil(a)=8\]
\[P(a)=0.9999999975\]
\[T(a)=8.667\]
\[C(a)=248\]
\[\lambda max(a)=5.333\]

\subsection{Аддитивный критерий}

\[\alpha:=\left(\begin{array}{c} 
    0.33 \\ 
    0.33 \\ 
    0.33 \\
    \end{array}\right)
\]

\[A(k):=\alpha_0 P(k)-\alpha_1 \frac{C(k)}{S} - \alpha_2 \frac{T(k)}{T0}\]

\begin{tabular}{llll}
    Given & & & \\
    \(C(ceil(n)) \leq S\) & \(T(ceil(n)) \leq T0\) & \(P(ceil(n)) \geq P0\) & \\
    \(\lambda(k) \cdot  \frac{v_0}{n_0} < 1\) & \(\lambda(k) \cdot  \frac{v_1}{n_1} < 1\) & \(\lambda(k) \cdot  \frac{v_2}{n_2} < 1\) & \(\lambda(k) \cdot  \frac{v_3}{n_3} < 1\) \\
\end{tabular}

\[a:=Maximize(A,k)\]
\[a:=ceil(a)=3\]
\[P(a)=0.999\]
\[T(a)=10.095\]
\[C(a)=93\]
\[\lambda max(a)=2\]

\section{Результаты и выводы}

\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Критерий  & \(n_0\) & \(n_1\) & \(n_2\) & \(n_3\) & P & T & C & \(\lambda max\)\\[2mm]\hline
\multicolumn{9}{|c|}{Поэлементное резервирование}\\[2mm]\hline
Гл.критерий & 27 & 13 & 8 & 8& 0.99 & 9.078 & 218 & 2.667\\[2mm]\hline
Мультипликативный & 7 & 16 & 6 & 16 & 0.99 & 8.731 & 215 & 5.33\\[2mm]\hline
Аддитивный & 3 & 5 & 3 & 5 & 0.99 & 10.702 & 73 & 1.667\\[2mm]\hline
Отклонение от идеала & 2 & 2 &2 & 2 & 0.978 & 22.609 & 34 & 0.667\\[2mm]\hline
Последовательной уступки & 2 & 3 & 3 & 3 & 0.995 & 13.739 & 48 & 1\\[2mm]\hline
STEM & 3 & 5 & 3 & 5 & 0.99 & 12.477 & 177 & 1.667\\[2mm]\hline
\multicolumn{9}{|c|}{Общее резервирование}\\[2mm]\hline
Мультипликативный & 8 & 16 & 16 & 16 & 0.99 & 8.667 & 248 & 5.33\\[2mm]\hline
Аддитивный & 3 & 6 & 6 & 6 & 0.99 & 10.095 & 93 & 2\\[2mm]\hline
\end{tabular}
\bigskip

В результате рассчетов получились достаточно разные результаты оптимизации структуры по различным критериям.
 Так как все варианты подходят в рамки заданных нами ограничений, то постараемся сделать субъективный выбор и определить наиболее подходящий вариант построения системы. Таким образом, предпочтение отдадим системе, полученной в следствии общего резервировании при оптимизации по мультипликативному критерию, так как данная структура обладает хорошей надежностью, самым маленьким временем пребывания заявок и наибольшим максимальным потоком запросов. При этом стоимость данной системы не превышает 250 у.е.

\end{document}