Лекции по линалу

1. Определение линейного (векторного) пространства. Примеры линейных пространств (ЛП).

		Простейшие свойства ЛП.
Пусть дано поле	(	- поле вещественных чисел, - поле комплексных чисел).
если на этом множестве определены две операции:
I. операция сложения:		, взятым в определенном порядке		(ставится в соответствие
элемент этого множества)		, называемый суммой и		;
II. операция умножения на число			:	, называемый
произведением числа	из поля на ;
III. операции сложения	и	умножения	на число обладают следующими свойствами:

1. (аксиома коммутативности);

2. (аксиома ассоциативности);

3. (существование нулевого элемента);

4. (существование противоположного элемента);

5.;

6. (ассоциативность умножения на число);

7. (дистрибутивность умножения на число относительно сложения чисел);

8. (дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов).

Линейное пространство над полем вещественных чисел называется вещественным ЛП, над полем – комплексным ЛП. ЛП – абстрактное векторное пространство. Элементы ЛП называются векторами. Вектор называется нулевым вектором пространства, - противоположным к вектору

. Разностью векторов и называется такой вектор : . Обозначение: .

Обозначения: , .

Примеры:

1.Геометрические ЛП .

2. – пространство вещественных матриц размера , - пространство комплексных матриц размера .

3. Рассмотрим множество			всевозможных упорядоченных наборов		вещественных		чисел
				. Введем равенство двух элементов: два элемента
и			называются равными, если:			. На этом множестве
введены операции сложения:				и умножения на число			:

. Такое множество с введенными операциями сложения и умножения на вещественное

1

число называется вещественным арифметическим пространством

, элементы пространства

называются арифметическими векторами (или

– мерными векторами).

Аналогично

– комплексное арифметическое пространство.

Если обобщить, то .

4. Рассмотрим

– многочлен степени

:

.

– по определению считается многочленом с нулевыми коэффициентами и называется

нулевым многочленом. Степень нулевого

многочлена не

определена.

Многочлены

и

называются равными, если

и

.

Определим операции

.

- ЛП пространство многочленов, степени не выше (пополненный нулевым многочленом);

-

пространство многочленов любой степени.

5.

– функциональные пространства.

Простейшие свойства линейных пространств.

1.В ЛП существует единственный нулевой элемент.

█ █

2.Для противоположный элемент.

█ Пусть

и

, тогда

.

█

3.

В ЛП справедливы равенства:

и

.

█

█

4.

В ЛП из

или

.

█ если

, если

█

5.

В ЛП

█

█

6.

В ЛП

█

Пусть:

█

Определение 1.2 Непустое подмножество

называется линейным подпространством ЛП , если:

Теорема 1.1 Линейное подпространство ЛП само является ЛП.

2

█ выполняются аксиомы 1 - 8 ЛП.█

2. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

Непустое упорядоченное множество элементов ЛП называется системой векторов (системой

элементов), любой упорядоченное подмножество системы называется подсистемой.
Пусть	- ЛП над ,
Определение 2.1 Вектор			называется линейной комбинацией векторов
с коэффициентами		. Если является линейной комбинацией		, то
говорят, что	линейно выражается через		. Представление
называется разложением вектора по векторам			.
Очевидно, что	выражается через любой	, т.к.	.
Обратно неверно: через не может выражаться ненулевой вектор, т.к.				.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, и

нетривиальной, если среди ее коэффициентов хотя бы один отличен от нуля:

		.
Определение 2.2 Система векторов			называется линейно зависимой
(нетривиальная комбинация):			и	система	называется
линейно независимой, если			выполняется, когда		.
Теорема 2.1 Система из одного вектора линейно зависима этот вектор нулевой.
Теорема 2.2 (критерий линейной зависимости) Система				- линейно зависима

хотя бы один из этих векторов линейно выражается через другие.

Теорема 2.3 Если подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Теорема 2.4 Любая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима.

Теорема 2.5	Система				- линейно независима любой вектор, являющийся линейной
комбинацией векторов					, имеет единственное разложение по этим векторам.
Теорема 2.6	Если система векторов					линейно независима, а	- линейно
зависима, то	- линейно выражается через					.
█			- линейно зависима,				Если
						- линейно зависима противоречие
					.█	3

Примеры.
1.	- линейно независимы:

2. Пространство многочленов. - линейно независимы:

3.		- линейно независимы:

3. Линейная зависимость столбцов (строк) матрицы.

Понятие линейной

зависимости системы векторов тесно связано с

понятием

матрицы

. Строки и столбцы можно рассматривать, как векторы арифметических пространств

и

:

.

Оказывается, что одна из важнейших характеристик матрицы определяется свойствами

линейной зависимости ее строк (столбцов)

Определение 3.1 Столбцы

называются линейно зависимыми, если существует такая

нетривиальная комбинация

,

, что

(3.1)

где

,

и линейно независимыми, если (3.1) выполняется только для тривиальной комбинации:

.

Теорема 3.1 (критерий линейной зависимости столбцов (строк)) Столбцы

-

линейно

зависимы один из столбцов есть линейная комбинация остальных столбцов.

Достаточные условия линейной зависимости, независимости.

1. Если среди

есть нулевой столбец, то система линейно столбцов зависима.

2. Если среди

есть линейно зависимая подсистема, то вся система линейно зависима.

3. Если

линейно независима, то любая подсистема линейно независима.

4

4. Ранг матрицы.

.

Определение 4.1 Рангом ненулевой матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считается равным нулю.

Обозначение:	.
Из определения следует, что 1)			(не превосходит ее размеров); 2)
	существует ненулевой минор		– порядка матрицы		,	любой минор более
высокого порядка равен нулю.
Определение 4.2	Пусть	. Любой	ненулевой минор	-	то	порядка называется

базисным минором, а строки и столбцы, в которых расположен минор, называются базисными строками и столбцами.

Замечание. У матрицы может быть не один базисный минор, но все они имеют один и тот же порядок, равный рангу этой матрицы.

Теорема 4.1 (о базисном миноре) Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка

(столбец) является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

█ Докажем для столбцов. Т.к. при произвольных переменах

строк (столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, ограничимся случаем, когда

базисный минор расположен в правом верхнем углу матрицы .
1) Пусть	- базисный минор			расположен в первых		столбцах:			. Докажем
линейную независимость от противного. Пусть					линейно зависимы. Тогда по критерию
линейной зависимости один из столбцов есть линейная комбинация других столбцов,									,
противоречие.
2) Пусть	- произвольный столбец матрицы .
Если							-	линейная комбинация
	.
Если	, то найдем такие			, что				или по элементам:

Рассмотрим матрицу

, полученную окаймлением минора

- той

строкой и – тым столбцом .

5

, т.к. а) если

(содержит две одинаковые строки), б) если

, то

– минор порядка

матрицы

.

Разложим

по последней строке:

, где

-

алгебраические дополнения к элементу

не зависят от выбора

. Т.к.

.

Следовательно, - столбец является линейной комбинацией базисных столбцов.█

Следствие. (критерий равенства нулю определителя) какая – либо строка (столбец)

является линейной комбинацией других ее строк (столбцов).

█« » (достаточность) – из свойства определителей.

« » (необходимость) в матрице есть хотя бы одна небазисная строка

(столбец), которая является линейной комбинацией базисных строк (столбцов). В эту линейную комбинацию можно включить все остальные строки, поставив перед ними нули.█

Пусть в ЛП даны две системы векторов. Если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой системы, то говорят, что первая система линейно выражается

через вторую.
«Линейная выражаемость» обладает свойствами транзитивности, т.е. если
линейно выражаются через	, а	- линейно выражаются через	, то
- линейно выражаются через		.

Теорема 4.2 Если в ЛП большая система выражается через меньшую, то большая система линейно зависима.

█ Пусть	и	две системы векторов в ЛП,
			.
Рассмотрим		(число строк больше числа столбцов)

в существует хотя бы одна небазисная строка (например, - тая), которая линейно выражается через базисные строки (а если дополнить линейную комбинацию остальными строками,

умноженными на ноль) и через остальные строки:

есть линейная комбинация векторов

линейно выражаются через линейно зависимы.█

Теорема 4..3 (теорема о ранге матрицы) Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).

6

█ Пусть . Случай - очевиден. Следовательно, в существуют

линейно независимых строк (столбцов) – это ее базисные строки (столбцы). При этом любая

система из большего числа строк (столбцов) линейно зависима.█
Следствие.
Теорема 4.4 Если все строки (столбцы) матрицы		линейно выражаются через строки (столбцы)
матрицы , то	.
█ Пусть		базисные столбцы. Пусть
	по условию теоремы линейно выражаются через столбцы матрицы					, которые (в силу
теоремы о базисном миноре 4.1) линейно выражаются через базисные столбцы
	- линейно выражаются через	по теореме 4.2				линейно
зависимы противоречие.█
Теорема 4.5		(Ранг произведения не превосходит
рангов сомножителей).
█						строка

линейно выражается через строки матрицы , столбец линейно выражается через столбцы в

силу теоремы 4.4: .█

5. Ранг матрицы и элементарные преобразования.

Определение 5.1 Элементарными преобразованиями матриц называются преобразования следующих типов:

1.перестановка двух строк (столбцов);

2.умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3.прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число.

Определение 5.2 Матрицами элементарных преобразований называются квадратные матрицы

вида:

, ;

7

,

;

,

.

- элементарные преобразования столбцов, - элементарные

преобразования строк.

Теорема 5.1 Ранг матрицы не изменится при умножении ее на невырожденную матрицу.

█		Аналогично для случая			. █
Теорема 5.2 Элементарные преобразования матрицы			не меняют ее ранга.
█		█

Теорема 5.3 Ранг матрицы не изменится, если из системы ее строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов).

█ С помощью элементарных преобразований, не изменяя ранга матрицы (Т. 5.2), например, строк обнулили рассматриваемую строку. Затем вычеркнем нулевую строку. Ранг матрицы останется прежним. Аналогично для столбцов. █

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы.

Теоретическую основу этого метода для данной задачи составляют следующие факты:

1.ранг верхней (нижней) трапециевидной матрицы равен количеству ненулевых сток (столбцов);

2.элементарные преобразования не изменяют ее ранг;

3.любая матрица с помощью элементарных преобразований строк (столбцов) может быть приведена к трапециевидной матрице.

Метод Гаусса состоит в приведении этой матрицы элементарными преобразованиями к верхней

(нижней) трапециевидной матрице и подсчете ее ненулевых сток (столбцов).

Метод окаймляющих миноров.
Определение 5.3	Минор	- того порядка называется окаймляющим	, если
получается из	вычеркиванием одной строки и одного столбца.
		8

Если в матрице	, а все окаймляющие миноры		, то
Определение 5.4 Две матрицы		называются эквивалентными, если существуют
невырожденные матрицы	и такие, что
Обозначение:
Теорема 5.4 Любая ненулевая матрица		ранга	эквивалентна матрице вида

.

█ Покажем, что элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к :

-строчный вариант основного процесса приводит матрицу к верхней ступенчатой форме;

-применим столбцовый вариант к получившейся матрице, то получим диагональную матрицу.

Т.к. элементарные преобразование не меняют ранга матрицы, то ровно первых диагональных элементов отлично от нуля.

- поделим каждую из первых строк на диагональный элемент, получим .

Т. е. существуют матрицы элементарных преобразований и : . Положим

	█
Теорема 5.5 Две матрицы		эквивалентны когда их ранги совпадают.
█ «»
« »		,

(транзитивность эквивалентности).█

6. Базис и размерность ЛП.

Определение 6.1 Базисом ЛП называется упорядоченная система линейно независимых векторов,

такая, что через нее выражается любой вектор пространства, т.е.		образуют базис
- линейно независимы,
Теорема 6.1 Система	векторов ЛП является его базисом когда она образует

максимально линейно независимую систему векторов ЛП.

9

«»	-	базис	. Любая большая
система выражается через меньшую линейно зависима			- максимально линейно
независимая система векторов.
« »	- максимально линейно независимая система векторов		-
линейно	зависима,	, один выражается через все остальные, -	линейная комбинация
	,	- образуют базис.

Теорема 6.2 Любые два базиса ЛП состоят из одинакового числа векторов. ( равного максимальному числу линейно независимых векторов)

Это означает, что число векторов базиса является характеристикой не сколько базиса, сколько самого пространства.

Определение 6.2 Число векторов базиса называется размерностью ЛП. Размерность нулевого

пространства по определению считается равным нулю.
Обозначение:	.
	называется - мерным пространством	.	.	Любое – мерное ЛП
называется конечномерным ЛП.
Определение 6.3	ЛП называется бесконечномерным, если		в	нем найдется линейно
независимая система из векторов.
Следствия из Т.6.1

1.В – мерном пространстве любые линейно независимых векторов образуют базис.

2.В – мерном ЛП любая система из векторов линейно зависима.

Примеры.

1. Геометрические пространства:

2. Арифметическое пространство:

3. Пространство матриц	:		- линейно независимы, т.к. а)
		; б)	- есть линейная комбинация;
4. Пространство многочленов	(степени	):	- базис
	.
5. Пространство многочленов	(всех степеней): -				линейно независимы.
Теорема 6.3 Разложение вектора по базису единственно.
		10