Работа Бисекция

Московский государственный институт электроники и математики

(технический университет)

Работа №1

по дисциплине «Вычислительная математика»

Выполнил:

студент группы С-34

Рыбин И. С.

___________

Проверил:

Прокофьев И.В.

__________

2004 г.

Исследование функции.

F(x)=(x-17)­³ + 3(x-17)²-2

Определена и непрерывна на (-∞; +∞)

Производная

F’(x)=3(x-17)²+ 6(x-17)=(x-17)(3x-51+6)=(x-17)(3x-45)=3(x-17)(x-15)

F(x) возрастает на (-∞; 15)U(17; ∞), убывает на (15;17)

Метод половинного деления.

i	Ai	Bi	Ci	f(Ci)
1	17	18	17.5	-1.125
2	17.5	18	17.75	0.11
3	17.5	17.75	17.625	-0.58
4	17.625	17.75	17.6875	-0.257
5	17.6875	17.75	17.71875	-0.078
6	17.71875	17.75	17.734375	0.01
7	17.71875	17.734375	17.7265625	-0.03
8	17.7265625	17.734375	17.73046875	-9.47*10^-4
9	17.73046875	17.734375	17.73242188	2.22*10^-4
10	17.73046875	17.73242188	17.73144531	-3.63*10^-4
11	17.73144531	17.73242188	17.7319336	-7*10^-4
12	17.7319336	17.73242188	17.73217774	7.6*10^-4
13	17.7319336	17.73217774	17.73205567	2.9*10^-5
14	17.7319336	17.73205567	17.73199463	-3.3*10^-4
15	17.73199463	17.73205567	17.73202515	-1.5*10^-4
16	17.73202516	17.73205567

Метод линейной интерполяции (метод хорд, метод пропорциональных частей)

С=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a))

Метод хорд

A0 = 17	B0 = 18	f(A0)= -2	f(B)0 = 2	C0 = 17.5
A1 = 17.5	B1 = 18	f(A1) = -1.125	f(B)1 = 2	C1 = 17.68
A2 = 17.68	B2 = 18	f(A2) = -0.298368	f(B)2 = 2	C2 = 17.721541546001
A3 = 17.721541546001	B3 = 18	f(A3) = -0.062482843231059	f(B)3 = 2	C3 = 17.729977434806
A4 = 17.729977434806	B4 = 18	f(A4) = -0.017417907881149	f(B)4 = 2	C4 = 17.731643647041
A5 = 17.731643647041	B5 = 18	f(A5) = -0.0024421018155636	f(B)5 = 2	C5 = 17.731970924188
A6 = 17.731970924188	B6 = 18	f(A6) = -0.0004792671286391	f(B)6 = 2	C6 = 17.732035137563
A7 = 17.732035137563	B7 = 18	f(A7) = -9.4018760130599E-005	f(B)7 = 2	C7 = 17.732047733833
A8 = 17.732047733833	B8 = 18	f(A8) = -1.84423674221E-005	f(B)8 = 2	C8 = 17.732050204647
A9 = 17.732050204647	B9 = 18	f(A9) = -3.6175289013229E-006	f(B)9 = 2	C9 = 17.732050689304

Метод касательных

Xn+1=Xn-F(Xn)/F’(Xn)

F(x)=(x-17)­³ + 3(x-17)²-2

F’(x)=3(x-17)²+ 6(x-17)=(x-17)(3x-51+6)=(x-17)(3x-45)=3(x-17)(x-15)

Xn	F(Xn)	F’(Xn)	Xn+1
17.5	-1.125	3.75	17.8
17.8	0.432	6.72	17.735
17.735	0.0177	6.03	17.732
17.732	-0.0003	6	17.732

Метод итерации.

F(x)=(x-17)­³ + 3(x-17)²-2

F(x)=0

(x-17)­³ + 3(x-17)²=2

(x-17)²(x-17+3)=2

(x-17)²=2/(x-14)

x-17=√(2/(x-14))

x=√(2/(x-14))+17

Xn+1=√(2/(Xn-14))+17

X₁=√(2/3)+17= 17.8164

X₂=√(2/3.8164)+17= 17.7239

X₃=√(2/3.7239)+17= 17.7328

X₄=√(2/3.7328)+17= 17.7319

X₅=√(2/3.7319)+17= 17.732

X₆=√(2/3.732)+17= 17.732

X₇=√(2/3.732)+17= 17.732

Сравнение эффективности методов.

1. Наиболее универсальным является метод половинного деления (он требует только непрерывности функции). Другие методы накладывают более сильные ограничения.

2. Метод половинного деления на каждом шаге дает для корня уравнения двустороннюю оценку, по которой легко определить достигнутую точность. Сходимость метода итераций или касательных зависит от того, на сколько удачно выбрано нулевое приближение.

3. Наибольшей скоростью сходимости обладает метод касательных

Выбор метода существенно зависит от того, какая дополнительная информация о функции имеется, и в соответствии с этим, каким свойствам метода придается наибольшее значение