Вопросы к экзамену 20072008
.docВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ
«СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ»
Группы МЭ-51,52; ЭМ5-08
2007/2008 учебный год, зимняя экзаменационная сессия
Лектор – доцент Шнурков П.В.
Раздел 1. Понятие случайного процесса. Общие свойства случайных процессов.
-
Понятие случайного процесса. Первый подход к определению случайного процесса. Классификация случайных процессов по характеру множества значений параметра времени Т и множества состоянии Х. Конечномерные распределения процессов и их свойства.
-
Траектория случайного процесса. Выборочное вероятностное пространство или пространство траекторий (схема построения). Алгебра цилиндрических множеств. Сигма-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами. Вероятностная мера, задаваемая на указанной сигма-алгебре.
-
Второй подход к определению случайного процесса. Общее определение случайной величины как измеримого отображения и его значение. Задание случайного процесса как измеримого отображения.
-
Система согласованных вероятностных мер (определение). Теорема Колмогорова о системе согласованных вероятностных мер (формулировка). Особенности теоремы Колмогорова и ее теоретическое значение.
-
Схема доказательства теоремы Колмогорова. Построение вероятностного пространства и случайного процесса с заданной системой конечномерных распределений.
-
Стохастическая эквивалентность случайных процессов. Модификации. Свойства траекторий стохастически эквивалентных процессов (анализ при помощи примера).
-
Различные понятия непрерывности случайного процесса, связи между ними (общая характеристика).
-
Непрерывность случайного процесса с вероятностью, равной единице, в любой момент времени t Т и непрерывность траектории процесса “в целом” с вероятностью, равной единице. Исследование соотношения между данными видами стохастической непрерывности и его значение для описания свойств случайного процесса. Пример, демонстрирующий различие указанных видов стохастической непрерывности.
-
Непрерывная модификация случайного процесса. Теорема Колмогорова о достаточных условиях существования непрерывной модификаии (без доказательства).
Раздел 2. Цепи Маркова с дискретным множеством состояний. Общие свойства. Классификация состояний.
-
Общее понятие марковского процесса. Марковский процесс с дискретным множеством состояний (классическое определение). Формализация понятий прошлого и будущего. Сигма-алгебры, порожденные траекториями процесса. Вариант марковсткого свойства (условная независимость двух произвольных событий из прошлого и будущего).
-
Цепи Маркова с дискретным множеством состояний. Способы задания марковской цепи с помощью вероятностных характеристик.
-
Уравнение Колмогорова – Чепмена. Свойства вероятностей перехода марковской цепи. Теорема существования марковской цепи с заданной матрицей вероятностей перехода.
-
Оценки для вероятностей перехода марковской цепи.
-
Связи между состояниями. Понятия пути и достижимости. Сообщающиеся состояния. Классы состояний. Теорема о разбиении множества состояний на классы.
-
Существенные и несущественные состояния (определение). Свойства состояний марковской цепи, связанные с существенностью.
-
Возвратные и невозвратные состояния марковской цепи. Необходимое и достаточное условие возвратности (аналитический критерий). Теорема о необходимых условиях невозвратности (без доказательства).
-
Альтернатива солидарности для свойства возвратности (доказательство)
-
Лемма Бореля – Кантелли. Теорема о числе возвращений марковской цепи в возвратное и невозвратное состояния. Общая характеристика эволюции марковской цепи с конечным множеством состояний.
-
Теорема о связи свойств существенности и возвратности (доказательство).
-
Вероятности перехода за конечное (произвольное) число шагов. Теорема о переходах внутри возвратного класса (без доказательства).
-
Положительные и нулевые состояния (определение). Альтернатива солидарности для свойства положительности.
-
Связь свойств возвратности и положительности.
-
Теорема о свойствах конечного замкнутого класса (доказательство).
-
Периодичность. Понятие периода и периодического состояния. Альтернатива солидарности для свойства периодичности.
-
Циклические подклассы и их свойства. Эволюция марковской цепи в замкнутом периодическом классе состояний. Вероятности перехода в периодичеком классе.
-
Альтернатива солидарности марковской цепи для основных свойств состояний (полное доказательство).
-
Случайные блуждания по целочисленным точкам в пространстве R1. Свойства марковской цепи (симметричный и несимметричный случаи).
-
Симметричное случайное блуждание в пространстве Rm, m2. Анализ свойства возвратности марковской цепи.
-
Поглощающие цепи Маркова. Определение, свойства эволюции цепи. Основные характеристики ( mij – математическое ожидание числа попаданий в состояние j до поглощения при условии (); bik – вероятность поглощения в фиксированном состоянии k при условии ()).
-
Поглощающие цепи Маркова. Теорема о представлении матрицы M = (mij). Следствие: представление аддитивного функционала среднего дохода за время до поглощения при различных начальных условиях.
-
Поглощающие цепи Маркова. Теорема о представлении матрицы В = (bik).
Раздел 3. Цепи Маркова. Предельные и стационарные распределения.
-
Предельные, эргодические и стационарные распределения марковской цепи (определения). Свойство стационарности марковской цепи.
-
Достаточные условия стационарности цепи в виде условий на начальное распределение. Понятие стационарного режима в системе, описываемой марковским процессом. Переход к стационарному режиму.
-
Эргодические теоремы для переходных вероятностей марковской цепи (без доказательства).
-
Необходимые и достаточные условия эргодичности конечной марковской цепи (доказательство теоремы).
-
Необходимые условия существования пределов вероятностей перехода счетной марковской цепи, связь с существованием стационарного распределения (альтернатива). Анализ утверждений теоремы.
-
Необходимые и достаточные условия существования единственного стационарного распределения счетной марковской цепи (формулировка и анализ утверждений теоремы).
-
Необходимые и достаточные условия существования предельного распределения счетной марковской цепи (формулировка и анализ результата). Необходимые и достаточные условия эргодичности счетной марковской цепи (без доказательства).
-
Необходимые и достаточные условия существования стационарного, предельного и эргодического распределений конечной марковско цепи (доказательство).
-
Аддитивные функционалы доходов на траекториях марковских цепей. Эргодическая теорема для аддитивных функционалов (без доказательства).
Раздел 4. Ветвящиеся процессы с дискретным временем.
-
Ветвящиеся случайные процессы с дискретным временем. Описание модели, и ее различные интерпретации. Формальное определение ветвящегося процесса и его связь с цепью Маркова.
-
Соотношения для производящих функций распределений ветвящегося процесса. Вычисление моментов распределения значения ветвящегося процесса в произвольный момент времени.
-
Вероятность вырождения ветвящегося процесса. Предельная вероятность вырождения, ее существование и способ определения (теорема).
-
Анализ проблемы вырождения ветвящегося процесса в зависимости от параметров процесса.