Вопросы к экзамену по курсу «Случайные процессы и ТМО»

Вопросы к экзамену по курсу

«Случайные процессы и ТМО»

для студентов групп М_5-01-М_5-04

Лектор – профессор Хаметов В.М.

уч. год 2005/2006

1. Измеримые пространства ,.

2. Измеримые пространства ,.

3. Измеримые пространства .

4. Построение вероятностных мер на .

5. Классификация вероятностных мер на . Теорема Лебега.

6. Построение вероятностных мер на .

7. Построение вероятностных мер на . Условия согласованности.

8. Построение вероятностных мер на . Условия согласованности.

9. Случайные величины. Функция, распределения случайной величины. Классификация случайных величин. Теорема Бореля (Т.13).

10. Случайные элементы. Примеры случайных элементов. Распределение вероятностей случайного процесса. Конечномерные распределения случайного процесса. Независимые в совокупности случайные элементы.

11. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

12. Сходимость по вероятности и сходимость с вероятностью один.

13. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости. Лемма Фату.

14. Определение условного математического ожидания относительно ‑подалгебры. Теорема существования и единственности

15. Свойства условных математических ожиданий.

16. Условные вероятности. Регулярные условные вероятности.

17. Стохастический базис. Марковские последовательности.

18. Переходная вероятность. Соотношение Чепмена-Колмогорова-Смолуховского (Т.50).

19. Процесс определённый рекуррентно. Достаточные условия существования и единственности процесса определённого рекуррентно (Т.52).

20. Достаточные условия «марковости» процесса определённого рекуррентно.

21. Дискретная модель диффузии. Гауссовская марковская последовательность.

22. Мартингалы. Полумартингалы. Теорема (Дуба) – формулировка (Т.54).

23. Лемма о числе пересечений отрезка снизу вверх (Л.55). Лемма (Дуба) о среднем числе пересечений (Л.56).

24. Доказательство теоремы (Дуба) (Т.54). равномерно интегрируемые мартингалы.

25. Марковские моменты и их свойства.

26. Остановленные последовательности. Локальные полумартингалы. Мартингал-разности.

27. Докажите, что

1. любой ограниченный сверху (снизу) локальный мартингал является мартингалом,

2. любой локальный мартингал является супермартингалом.

28. Мартингальные преобразования. Теорема Дуба-Мейера (Т.67).

29. Семимартингалы. Необходимые и достаточные условия того, что случайная последовательность является семимартингалом.

30. Формула Ито. Формула Ито для произведения семимартингалов. Квадратическая вариация. Взаимная вариация.

31. Квадратично интегрируемые мартингалы. Характеристика квадратично интегрируемых мартингалов.

32. Взаимная характеристика квадратично интегрируемых мартингалов. Ортогональные мартингалы. Критерий ортогональности мартингалов (Т.78).

33. Неравенство Куниты-Ватанабэ (Т.79). Разложение Куниты-Ватанабэ (Т.80).

34. Локальная абсолютная непрерывность вероятностных мер. Локальная плотность. Докажите, что локальная плотность является неотрицательным мартингалом.

35. Теорема Гирсанова.

36. Определение марковской цепи. Определение однородной марковской цепи. Достижимые, сообщающиеся состояния.

37. Класс состояний. Существенные состояния. Неприводимая однородная марковская цепь.

38. Строго марковское свойство однородных мартовских цепей. Циклические однородные марковские цепи.

39. Возвратные, невозвратные состояния. Среднее время до возвращения.

40. Определение эргодической марковской цепи. Критерий существования эргодического распределения. (Т.93).

41. Построение эргодических распределений (Т.94).

42. Стохастический базис. Фильтрация непрерывная справа. Случайный процесс с непрерывным временем (определение). Согласованный случайный процесс. Измеримый, прогрессивно измеримый случайный процесс.

43. Определение: модификации, неотличимых случайных процессов. Определение стохастически непрерывного справа (слева) случайного процесса. Классы случайных процессов, принадлежащие . Непрерывность процессов в среднем порядка . Докажите, что если и он непрерывен в среднем порядка , то он стохастически непрерывен.

44. Пуассоновский случайный процесс.

45. Полумартингалы.

46. Предсказуемые случайные процессы. Теорема Дуба-Мейера (Т.99).

47. Регулярные мартингалы. Докажите, что регулярный мартингал заданный на стохастическом базисе непрерывен справа (Т.101).

48. Докажите, что если -супермаргинал и , то он имеет непрерывную справа модификацию тогда и только тогда когда для .